(A) R$ 2.000,00

(B) R$ 3.200,00

(C) R$ 3.600,00

(D) R$ 4.000,00

(E) R$ 4.800,00

Solução:

O post A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes.

Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por:

\[p(t)=[280-190\cdot e^{-0,019(t-1970)}]\]

Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o logaritmo natural $$ln⁡(14/95)\cong −1,9$$, a população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de:

(A) 2065.

(B) 2070.

(C) 2075.

(D) 2080.

(E) 2085.

Solução:

O post Resolução – Unesp 2012 – Questão 83 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Questão

Se $$(\frac{1}{4})^{5x} > 4^{1-2x}$$, os valores de $$x$$ são

a) x>-7

b) x> -3

c) x>-1/3

d) x<-1/3

e) x<-7

Solução:

O post Resolução – Mackenzie 2020 – Q.25 – Grupos II e III apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Questão

O post ENEM 2018 (2ª aplicação) – Matemática (Q 149 – Amarela) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$ é injetiva, $$f$$ é injetiva.

b) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$ é sobrejetiva, $$g$$ é sobrejetiva.

Demonstração:

a) Provaremos a seguinte afirmação: dados $$x,y\in A$$, se $$f(x)=f(y)$$, vale que $$x=y$$.

Com efeito, sejam $$x,y\in A$$ e $$f(x)=f(y)$$ em $$B$$. Dado que $$g$$ está bem definida, $$g(f(x)=g(f(y))$$; em outras palavras: $$(g\circ f)(x)=(g\circ f)(y)$$. Da hipótese de que a função composta é injetiva, temos que $$x=y$$.

b) Provaremos a seguinte afirmação: dado $$p\in C$$, existe $$q\in B$$ tal que $$g(q)=p$$.

De fato, pela hipótese de que a função composta é sobrejetiva, dado $$p\in C$$, existe $$x\in A$$ tal que $$(g\circ f)(x)=p$$. Isto é: $$g(f(x))=p$$. Porque $$f$$ é bem definida, basta por $$f(x)=q\in B$$, para verificar que $$g(q)=p$$.

O post Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 6) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Prove que $$f(f^{-1}(Y))\subset Y$$, para todo $$Y\subset B$$.

b) Prove que $$f$$ é sobrejetora se, e somente se, $$f(f^{-1}(Y))= Y$$.

Demonstração

a) Seja $$s\in f(f^{-1}(Y))$$, então há $$p\in f^{-1}(Y)$$ tal que $$s=f(p)$$. Mais ainda: dado que $$p\in f^{-1}(Y)$$, tem-se $$f(p)\in Y$$. Logo $$s\in Y$$.

Fica provado que $$f(f^{-1}(Y))\subset Y$$, para todo $$Y\subset B$$.

Será suficiente provar que $$Y\subset f(f^{-1}(Y))$$, para que o item (b) seja verdadeiro.

b)

(i) Suponha, por absurdo, que $$f$$ não seja sobrejetora, mas vale $$Y\subset f(f^{-1}(Y))$$. Existe $$z\in B$$ tal que $$z\neq f(x)$$, para todo $$x\in A$$. De outro modo, $$f^{-1}(\{z\})=\emptyset$$.

Pondo $$Y=\{z\}$$, nota-se que $$\{z\}\subset f(f^{-1}(\{z\}))=f(\emptyset)=\emptyset$$.

Esta última conclusão é absurda, logo a função deve ser sobrejetora.

(ii) Seja $$f$$ uma função sobrejetora. Então, dado $$z\in Y$$, existe $$w\in A$$ tal que $$f(w)=z$$. Em particular, $$w\in f^{-1}(Y)$$.

Se $$z\notin f(f^{-1}(Y))$$, é certo que, para todo $$p\in f^{-1}(Y)$$, $$z\neq f(p)$$. Mas, em particular, $$w\in f^{-1}(Y)$$. Deste modo, para $$p=w$$, $$f(p)\neq f(w)$$. A última afirmação é absurda. Portanto é necessário que $$Y\subset f(f^{-1}(Y))$$.

O post Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 5) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Prove que $$X\subset f^{-1}(f(X))$$, para todo $$X\subset A$$.

b) Prove que a função é injetora se, e somente se, $$f^{-1}(f(X))=X$$, para todo $$X\subset A$$.

Demonstração

a) Suponha haver $$p\in X$$, com $$p\notin f^{-1}(f(X))$$.

De $$p\notin f^{-1}(f(X))$$ e da definição de $$f^{-1}(f(X))$$, tem-se que $$f(p)\notin f(X)$$.

Mais ainda: de $$f(p)\notin f(X)$$, tem-se que, para todo $$x\in X$$, $$f(p)\neq f(x)$$. Mas, em particular, $$p=x$$, pois $$p\in X$$. Logo, da hipótese de que $$f$$ é função, $$f(p)=f(x)$$, o que contradiz a hipótese inicial de que $$p\notin f^{-1}(f(X))$$.

Prova-se que, se $$p\in X$$, não se pode ter $$p\notin f^{-1}(f(X))$$, isto é, $$p\in f^{-1}(f(X))$$.

Com este resultado, basta provarmos a afirmação a seguir para demonstrar o item (b) do problema.

b) Provaremos a afirmação: A $$f$$ é injetora se, e somente se, $$f^{-1}(f(X))\subset X$$. 

(i) Seja $$f$$ uma função injetora.

Dado $$p\in f^{-1}(f(X))$$, tem-se $$f(p)\inf(X)$$. Daqui, existe $$x\in X$$ tal que $$f(x)=f(p)$$. Pela hipótese da função injetora, tem-se que $$x=p$$, ou seja, $$p\in X$$.

Provou-se, portanto, que $$f^{-1}(f(X))\subset X$$.

(ii) Assume-se que $$f^{-1}(f(X))\subset X$$.

Sejam $$x,p\in A$$ tais que $$f(p)=f(x)$$. Na hipótese, põe-se $$X=\{x\}$$.

Assim, $$f^{-1}(f(\{x\}))\subset \{x\}$$. Por outro lado, nota-se que $$p\in f^{-1}(f(\{x\}))$$, logo $$p\in\{x\}$$, ou seja, $$p=x$$.

Fica demonstrado que $$f$$ é uma função injetora.

O post Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 4) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Demonstração:

De fato, seja $$p\in f(A\cap B)$$. Então há $$x\in (A\cap B)$$ tal que $$f(x)=p$$. Porque $$x\in (A\cap B)$$, é certo que $$x\in A$$ e $$x\in B$$. Do primeiro caso, conclui-se que $$p\in f(A)$$, uma vez que existe $$x\in A$$ tal que $$f(x)=p$$. Do segundo caso e pelo raciocínio análogo ao anterior, temos $$p\in f(B)$$.Portanto $$p\in f(A)$$ e $$p\in f(B)$$, isto é, $$p\in f(A\cap B)$$.

Um contraexemplo para $$f(A\cap B)\supseteq f(A)\cap f(B)$$.

Suponha que $$f(x_{1})=f(x_{2})$$ e $$x_{1}\neq x_{2}$$. Tomemos $$A=\{x_{1}\}$$ e $$B=\{x_{2}\}$$.

Com efeito, $$f(A)=f(B)=\{p\}$$, mas $$f(A\cap B)=f(\emptyset)=\emptyset$$. Logo é impossível que $$\{p\}\subseteq\emptyset$$.

O post Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 3) apareceu primeiro em Educacional Plenus.