Seja uma função $$f:A\longrightarrow B$$.
a) Prove que $$f(f^{-1}(Y))\subset Y$$, para todo $$Y\subset B$$.
b) Prove que $$f$$ é sobrejetora se, e somente se, $$f(f^{-1}(Y))= Y$$.
Demonstração
a) Seja $$s\in f(f^{-1}(Y))$$, então há $$p\in f^{-1}(Y)$$ tal que $$s=f(p)$$. Mais ainda: dado que $$p\in f^{-1}(Y)$$, tem-se $$f(p)\in Y$$. Logo $$s\in Y$$.
Fica provado que $$f(f^{-1}(Y))\subset Y$$, para todo $$Y\subset B$$.
Será suficiente provar que $$Y\subset f(f^{-1}(Y))$$, para que o item (b) seja verdadeiro.
b)
(i) Suponha, por absurdo, que $$f$$ não seja sobrejetora, mas vale $$Y\subset f(f^{-1}(Y))$$. Existe $$z\in B$$ tal que $$z\neq f(x)$$, para todo $$x\in A$$. De outro modo, $$f^{-1}(\{z\})=\emptyset$$.
Pondo $$Y=\{z\}$$, nota-se que $$\{z\}\subset f(f^{-1}(\{z\}))=f(\emptyset)=\emptyset$$.
Esta última conclusão é absurda, logo a função deve ser sobrejetora.
(ii) Seja $$f$$ uma função sobrejetora. Então, dado $$z\in Y$$, existe $$w\in A$$ tal que $$f(w)=z$$. Em particular, $$w\in f^{-1}(Y)$$.
Se $$z\notin f(f^{-1}(Y))$$, é certo que, para todo $$p\in f^{-1}(Y)$$, $$z\neq f(p)$$. Mas, em particular, $$w\in f^{-1}(Y)$$. Deste modo, para $$p=w$$, $$f(p)\neq f(w)$$. A última afirmação é absurda. Portanto é necessário que $$Y\subset f(f^{-1}(Y))$$.
