No primeiro passo, verificamos que a fórmula vale para $$n=2$$. De fato, $$S_{1}=\frac{2}{3}\cdot (a_{1}+a_{2})=a_{1}+a_{2}$$.

No segundo passo, assumimos que a hipótese da soma para $$n$$ termos é válida e provamos que a fórmula também se verifica para $$n+1$$. De fato,

\[S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}=n\frac{a_{1}+a_{n}}{2}+a_{n+1} (*).\]

Usando o fato de que $$a_{n+1}=r+a_{n}$$ e fazendo a substituição em $$(*)$$, temos

\[S_{n+1}=n\frac{a_{1}+a_{n+1}-r}{2})+a_{n+1}=\]

\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2})-n(\frac{r}{2})+\frac{2a_{n+1}}{2}=\]

\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}) + \frac{a_{n+1}+a_{n+1}-nr}{2} (**).\]

Agora, usando o termo geral da progressão aritmética, observamos que $$a_{n+1}=a_{1}+nr$$, donde se tem que $$a_{1}=a_{n+1}-nr$$. Substituindo em $$(**)$$, obtemos

\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}) + \frac{a_{n+1}+a_{1}}{2}=\]

\[(n+1)\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2} .\]

Provamos, por indução finita, que, se a soma dos $$n$$ primeiros termos da PA é $$S_{n}=n\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}$$, a soma dos $$n+1$$ primeiros termos é $$S_{n+1}=(n+1)\frac{(a_{1}+a_{n+1})}{2}$$.

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\[\mathbf{S_{n}=n\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}}.\]

Obtenção da Fórmula

Usando o termo geral da progressão aritmética, podemos observar que

\[a_{1}+a_{n}=a_{1}+a_{1}+(n-1)r =2a_{1}+(n-1)r(●).\]

Se fizermos o mesmo com a₂ e a_n-1, obtemos

\[a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+r+a_{1}+(n-2)r=a_{1}+a_{1}+nr-2r+r=\]

\[2a_{1}+(n-1)r.\]

Note que esta última expressão é igual àquela anterior $$(●)$$.

Isso significa que sempre teremos

\[a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=…a_{k}+a_{n-k+1}.\]

Observe que, ao somarmos todos os termos, podemos reduzir a expressão da soma a apenas dois termos:

\[a_{1}+a_{2}+…+a_{n-1}+a_{n}=\]

\[2a_{1}+a_{3}+…+a_{n-2}+2a_{n}=\]

\[3a_{1}+a_{4}+…+a_{n-3}+3_a{n}.\]

Se procedermos até o fim da sequência, teremos duas vezes a ocorrência de $$na_{1}+a_{n}$$, isto é, $$2S_{n}=na_{1}+na_{n}$$, o que resulta na fórmula $$S_{n}=n(\frac{a_{1}+a_{n}}{2})$$.

Demonstração da Fórmula por Indução Finita

No primeiro passo, verificamos que a fórmula vale para $$n=2$$. De fato, $$S_{1}=\frac{2}{3}\cdot (a_{1}+a_{2})=a_{1}+a_{2}$$.

No segundo passo, assumimos que a hipótese da soma para $$n$$ termos é válida e provamos que a fórmula também se verifica para $$n+1$$. De fato,

\[S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}=n\frac{a_{1}+a_{n}}{2}+a_{n+1} (*).\]

Usando o fato de que $$a_{n+1}=r+a_{n}$$ e fazendo a substituição em $$(*)$$, temos

\[S_{n+1}=n\frac{a_{1}+a_{n+1}-r}{2})+a_{n+1}=\]

\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2})-n(\frac{r}{2})+\frac{2a_{n+1}}{2}=\]

\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}) + \frac{a_{n+1}+a_{n+1}-nr}{2} (**).\]

Agora, usando o termo geral da progressão aritmética, observamos que $$a_{n+1}=a_{1}+nr$$, donde se tem que $$a_{1}=a_{n+1}-nr$$. Substituindo em $$(**)$$, obtemos

\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}) + \frac{a_{n+1}+a_{1}}{2}=\]

\[(n+1)\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2} .\]

Provamos, por indução finita, que, se a soma dos $$n$$ primeiros termos da PA é $$S_{n}=n\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}$$, a soma dos $$n+1$$ primeiros termos é $$S_{n+1}=(n+1)\frac{(a_{1}+a_{n+1})}{2}$$.

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Analisando a figura e sobre o processo de eletrização por indução, são feitas as seguintes afirmações:

I. Para eletrizar o corpo neutro por indução, deve-se aproximar o indutor, conectar o induzido à terra, afastar o indutor e, finalmente, cortar o fio terra.
II. Para eletrizar o corpo neutro por indução, deve-se aproximar o indutor, conectar o induzido à terra, cortar o fio terra e, finalmente, afastar o indutor.
III. Na situação da figura, a conexão do induzido à terra, com o indutor nas suas proximidades, faz com que prótons do induzido escoem para a terra, por repulsão.
IV. No final do processo de eletrização por indução, o corpo inicialmente neutro e que sofreu indução, adquire carga de sinal negativo.

Está correto, apenas, o contido em

(A) II.
(B) I e III.
(C) I e IV.
(D) II e IV.
(E) II, III e IV.

Solução:

Vamos analisar cada uma das afirmações:

I. Errado. Se cortarmos o fio terra depois de afastar o indutor, o corpo continuará neutro, pois as cargas que estavam “faltando” no corpo irão ser retiradas da terra e repostas no corpo.

II. Certo. Primeiro temos que cortar o fio terra, depois afastar o indutor, assim não haverá reposição das cargas perdidas e o corpo ficará eletrizado.

III. Errado. O indutor atrai para si as cargas negativas, sobrando cargas positivas no corpo. Estas serão atraídas por cargas negativas na terra e serão retiradas do corpo. Não há repulsão no processo.

IV. Certo. Como o indutor atraiu as cargas negativas e as positivas foram aterradas, ao final do processo haverá sobra de cargas negativas no corpo.

Resposta: letra D.

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