A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é extremamente recorrente no cotidiano. Reza a lenda que foi Gauss, ainda quando criança, aquele que descobriu a conhecidíssima fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética de termo inicial a1,termo final an e razão r:
\[\mathbf{S_{n}=n\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}}.\]
Obtenção da Fórmula
Usando o termo geral da progressão aritmética, podemos observar que
\[a_{1}+a_{n}=a_{1}+a_{1}+(n-1)r =2a_{1}+(n-1)r(●).\]
Se fizermos o mesmo com a2 e an-1, obtemos
\[a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+r+a_{1}+(n-2)r=a_{1}+a_{1}+nr-2r+r=\]
\[2a_{1}+(n-1)r.\]
Note que esta última expressão é igual àquela anterior $$(●)$$.
Isso significa que sempre teremos
\[a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=…a_{k}+a_{n-k+1}.\]
Observe que, ao somarmos todos os termos, podemos reduzir a expressão da soma a apenas dois termos:
\[a_{1}+a_{2}+…+a_{n-1}+a_{n}=\]
\[2a_{1}+a_{3}+…+a_{n-2}+2a_{n}=\]
\[3a_{1}+a_{4}+…+a_{n-3}+3_a{n}.\]
Se procedermos até o fim da sequência, teremos duas vezes a ocorrência de $$na_{1}+a_{n}$$, isto é, $$2S_{n}=na_{1}+na_{n}$$, o que resulta na fórmula $$S_{n}=n(\frac{a_{1}+a_{n}}{2})$$.
Demonstração da Fórmula por Indução Finita
No primeiro passo, verificamos que a fórmula vale para $$n=2$$. De fato, $$S_{1}=\frac{2}{3}\cdot (a_{1}+a_{2})=a_{1}+a_{2}$$.
No segundo passo, assumimos que a hipótese da soma para $$n$$ termos é válida e provamos que a fórmula também se verifica para $$n+1$$. De fato,
\[S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}=n\frac{a_{1}+a_{n}}{2}+a_{n+1} (*).\]
Usando o fato de que $$a_{n+1}=r+a_{n}$$ e fazendo a substituição em $$(*)$$, temos
\[S_{n+1}=n\frac{a_{1}+a_{n+1}-r}{2})+a_{n+1}=\]
\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2})-n(\frac{r}{2})+\frac{2a_{n+1}}{2}=\]
\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}) + \frac{a_{n+1}+a_{n+1}-nr}{2} (**).\]
Agora, usando o termo geral da progressão aritmética, observamos que $$a_{n+1}=a_{1}+nr$$, donde se tem que $$a_{1}=a_{n+1}-nr$$. Substituindo em $$(**)$$, obtemos
\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}) + \frac{a_{n+1}+a_{1}}{2}=\]
\[(n+1)\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2} .\]
Provamos, por indução finita, que, se a soma dos $$n$$ primeiros termos da PA é $$S_{n}=n\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}$$, a soma dos $$n+1$$ primeiros termos é $$S_{n+1}=(n+1)\frac{(a_{1}+a_{n+1})}{2}$$.
