Vamos demonstrar, pelo método da Indução Finita, a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética: $$S_{n}=n(\frac{(a_{1}+a_{n})}{2})$$. Para ler mais sobre a soma da PA, acesse nosso artigo completo sobre o tema.
No primeiro passo, verificamos que a fórmula vale para $$n=2$$. De fato, $$S_{1}=\frac{2}{3}\cdot (a_{1}+a_{2})=a_{1}+a_{2}$$.
No segundo passo, assumimos que a hipótese da soma para $$n$$ termos é válida e provamos que a fórmula também se verifica para $$n+1$$. De fato,
\[S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}=n\frac{a_{1}+a_{n}}{2}+a_{n+1} (*).\]
Usando o fato de que $$a_{n+1}=r+a_{n}$$ e fazendo a substituição em $$(*)$$, temos
\[S_{n+1}=n\frac{a_{1}+a_{n+1}-r}{2})+a_{n+1}=\]
\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2})-n(\frac{r}{2})+\frac{2a_{n+1}}{2}=\]
\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}) + \frac{a_{n+1}+a_{n+1}-nr}{2} (**).\]
Agora, usando o termo geral da progressão aritmética, observamos que $$a_{n+1}=a_{1}+nr$$, donde se tem que $$a_{1}=a_{n+1}-nr$$. Substituindo em $$(**)$$, obtemos
\[n(\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2}) + \frac{a_{n+1}+a_{1}}{2}=\]
\[(n+1)\frac{a_{1}+a_{n+1}}{2} .\]
Provamos, por indução finita, que, se a soma dos $$n$$ primeiros termos da PA é $$S_{n}=n\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}$$, a soma dos $$n+1$$ primeiros termos é $$S_{n+1}=(n+1)\frac{(a_{1}+a_{n+1})}{2}$$.
