Seja uma função $$f:X\to\mathbb{R}$$, em que $$X$$ é um subconjunto dos reais. Um ponto $$a$$ é um ponto de acumulação à direita de $$X$$ se, e somente se, $$X\cap (a,a+\epsilon)\neq\emptyset$$, para qualquer $$\epsilon>0$$. Usamos a notação $$a\in X’_{+}$$, para indicar essa condição de $$a$$.

$$L$$ é o limite lateral à direita de $$f(x)$$ quando $$x\to a$$ se, e somente se, dado $$\epsilon>0$$, existe $$\delta>0$$ tal que , $$a<x<a+\delta$$ implica $$|f(x)-L|<\epsilon$$. Escrevemos $$lim_{x\to a^{+}} f(x) = L$$.

Analogamente, pode-se definir o limite à esquerda, se $$a-\delta<x<a$$ implica $$|f(x)-L|<\epsilon$$. Escrevemos, neste caso, $$lim_{x\to a^{-}} f(x) = L$$.

Exemplo
Seja

f(x) =\left{\begin{array}{ll} 1-x^{2},&\mbox{se}\quad x\neq 1,\\2, &\mbox{se}\quad x=1. \end{array}\right. $$

e calcule, se existirem, $$\lim_{x\to 1^{+}}f(x), \lim_{x\to 1^{-}}f(x)$$ e $$\lim_{x\to 1}f(x)$$.

$$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=0$$.

$$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=1$$.

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Solução:

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$$\lim_{x\to 0}\frac{|x^{2}-x|}{x}$$

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Solução:

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Calcule os limites, caso existam, e, se não existirem, justifique.

$$\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$$
$$\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$$
$$\lim_{x\to 1} f(x)$$

Solução:

Observamos que $$\lim_{x\to 1^{+}} f(x) = \lim_{x\to 1^{-}} f(x) = lim_{x\to 1}(1-x^{2})=0$$. Isso mostra que o limite de $$f(x)$$ existe quando $$x\to 1$$, mas a função não é contínua, uma vez que $$f(1)=2$$.

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a) $$\lim_{x\to 1^{+}}\frac{|x-1|}{x-1}$$
b) $$\lim_{x\to 1^{-}}\frac{|x-1|}{x-1}$$
c) $$\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1} $$

Solução:

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Consideramos uma função real $$f:A\longrightarrow \mathbb{R}$$, com $$A\subset\mathbb{R}$$, um intervalo.

Definição: Dizemos que a função tem limite à direita, e que o limite é igual a $$L$$, no ponto $$x_{0}\in A$$, se, dado ε>0, existe δ>0 tal que, se $$ x_{0}<x<x_{0}+\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$.

Escrevemos, portanto, $$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L$$.

Este é o limite de $$x\to x_{0}$$, quando $$x$$ encaminha-se ao valor $$x_{0}$$, por valores superiores a $$x_{0}$$, isto é, $$x>x_{0}$$.

Definição: Dizemos que a função tem limite à esquerda, e que o limite é igual a $$L$$, no ponto $$x_{0}\in A$$, se, dado ε>0, existe δ>0 tal que, se $$ x_{0}-\delta<x<x_{0}+\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$.

Escrevemos, portanto, $$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L$$.

Este é o limite de $$x\to x_{0}$$, quando $$x$$ encaminha-se ao valor $$x_{0}$$, por valores inferiores a $$x_{0}$$, isto é, $$x<x_{0}$$.

Teorema: Consideramos uma função real $$f:A\longrightarrow \mathbb{R}$$, com $$A\subset\mathbb{R}$$, um intervalo. Diz-se que esta função tem limite em $$x_{0}$$, se e somente se:

i) Os limites laterias (à direita e à esquerda) existirem em $$x_{0}$$

ii) Os limites laterais (à direita e à esquerda) no ponto $$x_{0}$$ forem idênticos, isto é, se $$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L=\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)$$. Neste caso, vale $$\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L$$.

2) Faça o gráfico das funções a seguir e determine, se existirem, $$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$$, $$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$$ e $$\lim_{x\to 1}f(x)$$

a) $$ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} x^{3},&\mbox{se}\quad x\neq 1,\\0, &\mbox{se}\quad x=1. \end{array}\right. $$

b) $$ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} 1-x^{2},&\mbox{se}\quad x\neq 1,\\2, &\mbox{se}\quad x=1. \end{array}\right. $$

Solução:

a)

$$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}x^{3}=\lim_{x\to 1}x^{3}=1$$.

$$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}x^{3}=\lim_{x\to 1}x^{3}=1$$.

Portanto existirá o limite a seguir, de modo que

$$\lim_{x\to 1}f(x)=1$$.

b)

$$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=0$$.

$$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=1$$.

Portanto existirá o limite a seguir, de modo que

$$\lim_{x\to 1}f(x)=0$$.

3) Calcule os limites, caso existam, e, se não existirem, justifique.

a) $$\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$, com $$ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} x^{2},&\mbox{se}\quad x\geq 1,\\2x-1, &\mbox{se}\quad x<1. \end{array}\right. $$

b) $$\lim_{x\to 2^{-}} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}$$, com $$ g(x) =\left\{\begin{array}{ll} x,&\mbox{se}\quad x\leq 1,\\\frac{x^{2}}{2}, &\mbox{se}\quad x>1. \end{array}\right. $$

Solução:

a) 

b)

Primeiro, note que $$g(2)=\frac{2^{2}}{2}=2$$, pois $$x>1$$.

Agora, como se quer calcular $$\lim_{x\to 2^{-}}\frac{g(x)-2}{x-2}$$, escolhemos $$g(x)=\frac{x^{2}}{2}$$.

Agora, analisamos a fração

\[\frac{g(x)-2}{x-2}=\frac{\frac{x^{2}}{2}-2}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{2(x-2)}=\frac{x+2}{2}\].

Observamos que existe o limite de $$x\to 2$$ para esta última fração, então concluímos que existe o limite requerido e

\[\lim_{x\to 2^{-}}\frac{g(x)-2}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{2}=\frac{\lim_{x\to 2}(x+2)}{2}=2\]

4)

Seja $$f$$ uma função definida num intervalo aberto $$I$$, e $$p\in I$$. Suponha que $$f(x)\leq f(p)$$, para todo $$x\in I$$. Prove que $$\lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=0$$, desde que o limite exista.

Solução:

Supondo que exista aquele limite, analisamos os sinais dos respectivos limites laterais.

$$0\leq\lim_{x\to p^{-}}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$$, pois o numerador é negativo, $$f(x)-f(p)\leq 0$$, e o denominador é negativo. Lembre-se de que $$x<p$$, portanto $$x-p\leq 0$$.

$$\lim_{x\to p^{-}}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}\leq 0$$, pois o numerador é negativo, $$f(x)-f(p)\leq 0$$, e o denominador é positivo. Lembre-se de que $$x>p$$, portanto $$0\leq x-p$$.

Por hipótese, como o limite existe, os limites laterais existem e devem ser iguais, além de serem iguais ao próprio limite. Como cada um dos limites laterais tem sinais contrários ou pode ser igual a zero, resta-nos apenas a opção em que todos são iguais a 0.

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