Solução:

Por hipótese, $$Av = \lambda v$$ e $$A*w = \mu $$ Pela definição do operador adjunto, temos

\[<\lambda v,w>=<Av,w>=<v,A*w>=<v,\mu w>.\]

Assim, pelas propriedades do produto interno sobre o corpo dos números reais, temos $$\lambda<v,w>=\mu<v,w>$$, que implica $$(\lambda-\mu)<v,w>=0$$. Dado que λ≠μ, a igualdade só é válida se $$<v,w> = 0$$.

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a) $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$.

b) $$(A^{*})^{*} = A$$.

Solução:

a) $$<ABx,y>=<x, (AB)^{*}y>$$.

$$<ABx,y>=<Bx,Ay>=<x,B^{*}A^{*}y>$$.

Juntam-se ambas as igualdades para concluir a demonstração.

$$<x, (AB)^{*}y>=<x,B^{*}A^{*}y>$$, para todo $$x\in E$$ e todo $$y\in F$$, então $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$.

b) $$<Ax,y>=<x,Ay>$$.

$$<A^{*}y,x>=<y,(A^{*})^{*}x>\Longrightarrow <x,A^{*}y>=<(A^{*})^{*}x,y>$$.

Juntam-se ambas as igualdades para concluir a demonstração.

$$<Ax,y>=<(A^{*})^{*}x,y>$$, para todo $$x\in E$$ e todo $$y\in F$$, então $$A=(A^{*})^{*}$$.

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Exercício

Seja $$f^{*}:\mathbb{R}\longrightarrow E$$ a adjunta do funcional linear $$f: E\longrightarrow \mathbb{R}$$. Prove que $$v=f^{*}(1)$$ é vetor de $$E$$ que corresponde a $$f$$ pelo isomorfismo do teorema da representação de Riesz.

Prove ainda que $$f(f^{*}(1))=|v|^{2}$$ e $$f^{*}(f(w))=<w;v>v$$, para todo $$w\in E$$.

Solução:

Da propriedade adjunta, $$f(w)\cdot 1 = <w;f^{*}(1)>=<w;v>$$.

Pelo teorema da representação, sabemos do isomorfismo $$\xi :E\longrightarrow E^{*}$$ tal que $$\xi (v)=<w;v>$$, para todo $$w\in E$$. Agora, façamos a composição de funções:

\[(\xi\circ f^{*})(v)=\xi(f^{*}(1))=\xi(v)=<w;v>=f(w)\].

Por outro lado, $$f(f^{*}(1))=f(v)=<v;v>=|v|^{2}$$, e $$f^{*}(f(w))=f^{*}(f(w)\cdot 1)=f(w)\cdot v = <w;v>v$$.

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Seja $$A:E\longrightarrow F$$ uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Prove:

i) Se $$A$$ é sobrejetiva, então $$AA^{*}:F\longrightarrow F$$ é invertível, e $$A^{*}(AA^{*})^{-1}: F\longrightarrow E$$ é uma inversa à direita de $$A$$.

ii) Se $$A$$ é injetiva, então $$A^{*}A: E\longrightarrow E$$ é invertível e $$(A^{*}A)^{-1}A^{*}$$ é uma inversa à esquerda de $$A$$.

Solução:

i) Provaremos que $$AA^{*}=T$$ é injetiva, isto é, $$\mathcal{N(T)}={0_{F}}$$.

Seja $$y\in F$$ tal que $$AA^{*}y=0$$. Pela propriedade do operador adjunto, temos $$0=<AA^{*}y;z>=<A^{*}y;A^{*}z>$$. Pondo $$y=z$$, temos $$0=<A^{*}y;A^{*}y>$$, o que implica em $$A^{*}y=0$$, isto é, $$y\in \mathcal{N(A^{*})}$$.

Como $$A$$ é sobrejetiva, então $$\mathcal{Im}(A)=F$$.

Ademais, porque $$y\in \mathcal{N(A^{*})}$$ e este subespaço é ortogonal à imagem da função $$A$$, é verdade que $$<Ax,y>=0$$. Como a função é sobrejetora, podemos colocar a existência de $$x\in E$$ tal que $$Ax=y$$. Deste modo, $$<y,y>=0$$ se, e somente se, $$y=0$$. Portanto o núcleo de $$T$$ é nulo.

Para concluir: pelo teorema do Núcleo de da Imagem, $$dim(F)=dim(\mathcal{N}(T))+dim(\mathcal{Im}(T))\Longrightarrow dim(F) = dim(\mathcal{Im}(T))$$, portanto a função é sobrejetiva (lembre-se de que $$\mathcal{Im}(T)$$ é subespaço de $$F$$).

ii)

Seja $$T=A^{*}A$$, e  seja $$x\in E$$ tal que $$Tx=0$$. Pela propriedade do operador adjunto, temos $$0=<x,A^{*}Ax>=<Ax,Ax>\Longrightarrow Ax=0$$. Assim, $$x=0$$ porque $$A$$ é injetiva.

Provamos que $$\mathcal{N}(A^{*}A)=\{0\}$$. Pelo teorema do núcleo e da imagem, $$T$$ é sobrejetiva.

Para concluir a existência das inversas à direita e à esquerda, em ambos os itens, basta provar que a propriedade decorre do fato de ambas as funções serem invertíveis.

Questão

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