Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercício 3)

Dadas as funções lineares $$A, B: E\longrightarrow F$$, prove as afirmações a seguir.

a) $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$.

b) $$(A^{*})^{*} = A$$.

Solução:

a) $$<ABx,y>=<x, (AB)^{*}y>$$.

$$<ABx,y>=<Bx,Ay>=<x,B^{*}A^{*}y>$$.

Juntam-se ambas as igualdades para concluir a demonstração.

$$<x, (AB)^{*}y>=<x,B^{*}A^{*}y>$$, para todo $$x\in E$$ e todo $$y\in F$$, então $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$.

b) $$<Ax,y>=<x,Ay>$$.

$$<A^{*}y,x>=<y,(A^{*})^{*}x>\Longrightarrow <x,A^{*}y>=<(A^{*})^{*}x,y>$$.

Juntam-se ambas as igualdades para concluir a demonstração.

$$<Ax,y>=<(A^{*})^{*}x,y>$$, para todo $$x\in E$$ e todo $$y\in F$$, então $$A=(A^{*})^{*}$$.