Operador Adjunto – Exercício 1

Se v e w são respectivamente autovetores de A e A*, correspondentes a autovalores λ e μ, com λ≠μ , prove que ‹v,w› = 0.

Solução:

Por hipótese, $$Av = \lambda v$$ e $$A*w = \mu $$ Pela definição do operador adjunto, temos

\[<\lambda v,w>=<Av,w>=<v,A*w>=<v,\mu w>.\]

Assim, pelas propriedades do produto interno sobre o corpo dos números reais, temos $$\lambda<v,w>=\mu<v,w>$$, que implica $$(\lambda-\mu)<v,w>=0$$. Dado que λ≠μ, a igualdade só é válida se $$<v,w> = 0$$.