Seja $$C(A)$$ o conjunto dos operadores lineares $$X: E\longrightarrow E$$ que comutam com o operador $$A\in\mathcal{L}(E)$$, isto é, $$XA=AX$$. Prove que $$C(A)$$ é um subespaço vetorial de $$\mathcal{L}(E)$$ e que, para $$X,Y\in C(A)$$, tem-se $$XY\in C(A)$$.

Solução:

Sejam $$X,Y\in C(A)$$. Façamos a operação distributiva à direita: $$A(X+Y)=AX+AY$$. Por hipótese e pela distributividade à direita, temos: $$AX+AY=XA+YA=(X+Y)A$$. Isto comprova que a soma de dois elementos em $$C(A)$$ é um elemento de $$C(A)$$.

Por outro lado, dado o escalar λ, $$A(\lambda\cdot X) = (\lambda\cdot A)X=\lambda\cdot(AX)=\lambda\cdot (XA)=(\lambda\cdot X)A$$. Isto comprova que o produto de um escalar por um elemento de $$C(A)$$ é elemento de $$C(A)$$.

Provamos que $$C(A)$$ é um subespaço vetorial dos operadores no espaço $$E$$.

Sejam $$X,Y\in C(A)$$, valerá $$AX=XA$$ e $$AY=YA$$. Desenvolvamos a seguinte expressão:

\[A(XY)=XAY=XYA\].

Isto prova que $$XY\in C(A)$$.

Admitindo que $$\mathcal{L}(E)$$ é formado por operadores invertíveis, ele será também um grupo multiplicativo com a operação produto entre operadores. Deste modo, $$C(A)$$ também é subgrupo deste mesmo conjunto de operadores.

Com efeito, seja $$I$$ o operador identidade, é fato que $$AI=IA=A$$. Portanto $$I\in C(A)$$.

Agora, com $$X\in C(A)$$, $$XA=AX$$. Como os operadores são invertíveis, multiplicamos os dois lados por $$X^{-1}$$.

\[X^{-1}XA=X^{-1}AX\Longrightarrow A=X^{-1}AX\Longrightarrow AX^{-1}=X^{-1}A\].

As três últimas propriedades verificadas mostram que o conjunto é subgrupo.

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Questão

(Lema de Caracterização de Subgrupos) Seja $$H\subset G$$, onde $$G$$ é um grupo. $$H$$ é subgrupo de $$G$$ se, e somente se, para todo $$x,y\in H$$, houvesse $$xy^{-1}\in H$$>

Solução:

$$(\Longrightarrow)$$: Partamos de que $$H$$ é subgrupo. Então, se $$x,y\in H$$, é óbvio que $$y^{-1}\in H$$, e $$x\cdot y^{-1}\in H$$, pois $$H$$ observa as propriedades da inclusão do inverso e do fecho sobre o produto.

$$(\Longleftarrow)$$: Precisamos provar três itens:

1. se $$x,y\in H$$, então $$xy\in H$$;
2. $$1_{G}\in H$$;
3. se $$x\in H$$, então $$x^{1}\in H$$.

O item 2 e 3: Dado que $$H\neq \emptyset$$, então $$x\in H$$, logo, pelo enunciado, fazendo $$x=y$$, obtemos $$xy^{-1}=xx^{-1}=1_{G}\in H$$. Assim, como $$1_{G},x\in H$$, então $$1_{G}\cdot x^{-1}=x^{-1}\in H$$.

O item 1: Se $$x,y\in H$$, então $$x,y^{-1}\in H$$, logo $$x(y^{-1})^{-1}=xy\in H$$.

Questão

Seja um grupo cujos elementos possuem ordem 2, exceto o elemento neutro da multiplicação. Prove que este grupo é abeliano.

Solução:

Para quaisquer $$a,b\in G$$, é válido $$ab\cdot ab = 1_{G}$$.

\[abab=1_{G}\Longrightarrow aba=ababb=1_{G}\cdot b = b\Longrightarrow ba=aaba=ab\].

Questão

Prove que o conjunto dos elementos cuja ordem é infinita é um um subgrupo de um grupo abeliano.

Solução:

Precisamos provar os três itens de caracterização de subgrupo. O conjunto será denotado por $$X$$, e o grupo será denotado por $$G$$. Por estarmos em um grupo abeliano, vale a propriedade: $$(ab)^{s}=a^{s}b^{s}$$, para $$a,b\in G$$.

1. O elemento neutro pertence ao conjunto. De fato, $$1_{G}^{1}=1_{G}$$, logo a ordem do elemento neutro é finita e igual a 1.

2. Se $$x\in X$$, então existe $$s$$ inteiro tal que $$x^{s}=1_{G}$$. Seja $$y=x^{-1}$$. Então $$xy=1_{G}\Longrightarrow (xy)^{s}=1_{G}$$. Por outro lado, como $$G$$ é abeliano, temos $$1_{G}=(xy)^{s}=x^{s}y^{s}=y^{s}$$, logo a ordem de $$y$$ é $$s$$, isto é, $$y$$ também tem ordem finita.

3. Sejam $$x,y\in X$$, então existem os inteiros $$m,n$$ tais que $$x^{m}=y^{n}=1_{G}$$. Suponha, sem perda de generalidade, que $$m=n+r$$, para algum inteiro positivo $$r$$. Provemos que o produto $$xy$$ está neste conjunto.

\[(xy)^{m}=x^{m}y^{n+r}=1_{G}\cdot 1_{G}\cdot y^{r}=y^{r}\].

Agora, basta fazermos $$(y^{r})^{n}=(y^{n})^{r}=1_{G}^{r}=1_{G}$$, isto é, o elemento $$xy=y^{s}$$ tem ordem finita igual a $$rn$$.

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