Seja $$C(A)$$ o conjunto dos operadores lineares $$X: E\longrightarrow E$$ que comutam com o operador $$A\in\mathcal{L}(E)$$, isto é, $$XA=AX$$. Prove que $$C(A)$$ é um subespaço vetorial de $$\mathcal{L}(E)$$ e que, para $$X,Y\in C(A)$$, tem-se $$XY\in C(A)$$.
Solução:
Sejam $$X,Y\in C(A)$$. Façamos a operação distributiva à direita: $$A(X+Y)=AX+AY$$. Por hipótese e pela distributividade à direita, temos: $$AX+AY=XA+YA=(X+Y)A$$. Isto comprova que a soma de dois elementos em $$C(A)$$ é um elemento de $$C(A)$$.
Por outro lado, dado o escalar λ, $$A(\lambda\cdot X) = (\lambda\cdot A)X=\lambda\cdot(AX)=\lambda\cdot (XA)=(\lambda\cdot X)A$$. Isto comprova que o produto de um escalar por um elemento de $$C(A)$$ é elemento de $$C(A)$$.
Provamos que $$C(A)$$ é um subespaço vetorial dos operadores no espaço $$E$$.
Sejam $$X,Y\in C(A)$$, valerá $$AX=XA$$ e $$AY=YA$$. Desenvolvamos a seguinte expressão:
\[A(XY)=XAY=XYA\].
Isto prova que $$XY\in C(A)$$.
Admitindo que $$\mathcal{L}(E)$$ é formado por operadores invertíveis, ele será também um grupo multiplicativo com a operação produto entre operadores. Deste modo, $$C(A)$$ também é subgrupo deste mesmo conjunto de operadores.
Com efeito, seja $$I$$ o operador identidade, é fato que $$AI=IA=A$$. Portanto $$I\in C(A)$$.
Agora, com $$X\in C(A)$$, $$XA=AX$$. Como os operadores são invertíveis, multiplicamos os dois lados por $$X^{-1}$$.
\[X^{-1}XA=X^{-1}AX\Longrightarrow A=X^{-1}AX\Longrightarrow AX^{-1}=X^{-1}A\].
As três últimas propriedades verificadas mostram que o conjunto é subgrupo.
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