Questão
(Lema de Caracterização de Subgrupos) Seja $$H\subset G$$, onde $$G$$ é um grupo. $$H$$ é subgrupo de $$G$$ se, e somente se, para todo $$x,y\in H$$, houvesse $$xy^{-1}\in H$$>
Solução:
$$(\Longrightarrow)$$: Partamos de que $$H$$ é subgrupo. Então, se $$x,y\in H$$, é óbvio que $$y^{-1}\in H$$, e $$x\cdot y^{-1}\in H$$, pois $$H$$ observa as propriedades da inclusão do inverso e do fecho sobre o produto.
$$(\Longleftarrow)$$: Precisamos provar três itens:
- se $$x,y\in H$$, então $$xy\in H$$;
- $$1_{G}\in H$$;
- se $$x\in H$$, então $$x^{1}\in H$$.
O item 2 e 3: Dado que $$H\neq \emptyset$$, então $$x\in H$$, logo, pelo enunciado, fazendo $$x=y$$, obtemos $$xy^{-1}=xx^{-1}=1_{G}\in H$$. Assim, como $$1_{G},x\in H$$, então $$1_{G}\cdot x^{-1}=x^{-1}\in H$$.
O item 1: Se $$x,y\in H$$, então $$x,y^{-1}\in H$$, logo $$x(y^{-1})^{-1}=xy\in H$$.
Questão
Seja um grupo cujos elementos possuem ordem 2, exceto o elemento neutro da multiplicação. Prove que este grupo é abeliano.
Solução:
Para quaisquer $$a,b\in G$$, é válido $$ab\cdot ab = 1_{G}$$.
\[abab=1_{G}\Longrightarrow aba=ababb=1_{G}\cdot b = b\Longrightarrow ba=aaba=ab\].
Questão
Prove que o conjunto dos elementos cuja ordem é infinita é um um subgrupo de um grupo abeliano.
Solução:
Precisamos provar os três itens de caracterização de subgrupo. O conjunto será denotado por $$X$$, e o grupo será denotado por $$G$$. Por estarmos em um grupo abeliano, vale a propriedade: $$(ab)^{s}=a^{s}b^{s}$$, para $$a,b\in G$$.
1. O elemento neutro pertence ao conjunto. De fato, $$1_{G}^{1}=1_{G}$$, logo a ordem do elemento neutro é finita e igual a 1.
2. Se $$x\in X$$, então existe $$s$$ inteiro tal que $$x^{s}=1_{G}$$. Seja $$y=x^{-1}$$. Então $$xy=1_{G}\Longrightarrow (xy)^{s}=1_{G}$$. Por outro lado, como $$G$$ é abeliano, temos $$1_{G}=(xy)^{s}=x^{s}y^{s}=y^{s}$$, logo a ordem de $$y$$ é $$s$$, isto é, $$y$$ também tem ordem finita.
3. Sejam $$x,y\in X$$, então existem os inteiros $$m,n$$ tais que $$x^{m}=y^{n}=1_{G}$$. Suponha, sem perda de generalidade, que $$m=n+r$$, para algum inteiro positivo $$r$$. Provemos que o produto $$xy$$ está neste conjunto.
\[(xy)^{m}=x^{m}y^{n+r}=1_{G}\cdot 1_{G}\cdot y^{r}=y^{r}\].
Agora, basta fazermos $$(y^{r})^{n}=(y^{n})^{r}=1_{G}^{r}=1_{G}$$, isto é, o elemento $$xy=y^{s}$$ tem ordem finita igual a $$rn$$.
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