Resolução – UNICAMP 2015 (1ª Fase) – Matemática (continuação)

Questão

Se ($$a_{1}$$ , $$a_{2}$$ , … , $$a_{13}$$) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, então $$a_{7}$$ é igual a

a) 6.

b) 7.

c) 8.

d) 9.

Solução:

Resposta: a)

Questão

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Considere a matriz $$\left[\begin{array}{cc} a&0\\b&1 \end{array}\right]$$ , onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. Se $$A^{2}=A$$ e 𝐴 é invertível, então

a) 𝑎 = 1 e 𝑏 = 1.

b) 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0.

c) 𝑎 = 0 e 𝑏 = 0.

d) 𝑎 = 0 e 𝑏 = 1.

Solução:

Resposta:b)

 

Questões

Considere o sistema linear nas variáveis x,y e z.

$$\left\{ \begin{array}{c} x+2y+3z=20\\7x+8y-mz=26 \end{array} \right.$$

onde 𝑚 é um número real. Sejam 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 números inteiros consecutivos tais que (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) é uma solução desse sistema. O valor de 𝑚 é igual a

a) 3.

b) 2.

c) 1.

d) 0.

Solução:

Resposta: a)

Os números são consecutivos, portanto $$b=a+1$$ e $$c=a+2$$. Substituindo os três números inteiros na primeira equação, tem-se $$a+2(a+1)+3(a+2)=26\Longrightarrow 6a+8=20\Longrightarrow a=2$$.

Conclui-se, portanto, que $$(a,b,c)=(2,3,4)$$. Agora, substituindo estes valores na segunda equação, tem-se $$7\cdot 2 + 8\cdot 3 -4m=26\Longrightarrow -4m=-12\Longrightarrow m=3$$.

Questão

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A figura abaixo exibe o gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥).

unicamp Então, o gráfico de 𝑦 = 2 𝑓(𝑥 − 1) é dado por

Então, o gráfico de 𝑦 = 2 𝑓(𝑥 − 1) é dado por

unicamp Então, o gráfico de 𝑦 = 2 𝑓(𝑥 − 1) é dado por

Solução:

Resposta: b)

Observe que $$y=g(x)=2f(x-1)$$. Além disso, $$f(1)=2$$ e $$f(-1)=-2$$. Então $$g(2)=2f(2-1)=2f(1)=4$$ e $$g(0)=2f(0-1)=2f(-1)=-4$$.

Questão

Seja 𝑎 um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas $$y=x^{2}+2x+2$$ e $$y=2x^{2}+2x+3$$. Essas parábolas não se interceptam se e somente se

a) |𝑎| = 2.

b) |𝑎| < 2.

c) |𝑎 − 2| < 2.

d) |𝑎 − 2| ≥ 2.

Solução:

Resposta: c)

1) Igualando uma equação à outra, estamos interpretando, algebricamente, que, naquele ponto (x,y), há uma intersecção geométrica.

\[x^{2}+2x+2=2x^{2}+ax+3\Longrightarrow 0=x^{2}+(a-2)x+1\].

2) Para que não existam pares ordenados como os anteriores, a equação anterior não poderá ter raízes reais, ou seja,  $$\Delta<0$$.

$$\Delta=B^{2}-4AC= (a-2)^{2}-4<0\Longrightarrow a^{2}-4a<0\Longrightarrow a(a-4)<0$$.

Este produto dos termos $$a$$ e $$(a-4)$$ só pode ser negativo se o primeiro for negativo com o segundo positivo, ou se o primeiro for positivo, com o segundo negativo.

Caso 1] $$a<0$$ e $$a-4>0\Longrightarrow a>4$$. Esta opção é inválida, pois não se pode ter a<0 e a>4.

Caso 2] $$a>0$$ e $$a-4<0\Longrightarrow 0<a<4$$. Esta é a única opção possível para que o $$\Delta <0$$.

3) Se $$0<a<4$$, então $$0-2<a-2<4-2\Longrightarrow -2<a-2<2\Longrightarrow |a-2|<2$$.

Questão

No plano cartesiano, a equação |𝑥 − 𝑦| = |𝑥 + 𝑦| representa

a) um ponto.

b) uma reta.

c) um par de retas paralelas.

d) um par de retas concorrentes.

Solução:

Resposta: d)

O “truque sujo" é elevar os dois lados da equação ao quadrado, uma vez que esta operação “some" com os módulos dos dois lados.

\[|x-y|^{2}=|x+y|^{2}\Longrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\Longrightarrow -2xy=2xy\Longrightarrow 4xy=0\].

Para que $$4xy=0$$, deve-se ter $$x=0$$ ou $$y=0$$. No plano cartesiano, os possíveis pares ordenados são (0,$$y$$) e ($$x$$,0). Estas duas retas são, exatamente, os eixos coordenados (reta x e reta y). Portanto as retas são concorrentes, uma vez que elas se interceptam no ponto (0,0).

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