$$A=\left[\begin{array}{ccc}-1&0&2\\ 4&3&5\\ 1&3&6\end{array}\right]$$ e $$B=\left[\begin{array}{ccc}4&-1&-2\\ 5&0&2\\ 1&2&-5\end{array}\right]$$

Correção FATEC 2025

(A) – 48
(B) 22
(C) 34
(D) – 19
(E) 25

O post A soma dos resultados dos determinantes das matrizes A e B apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[\left(\begin{array}{cc}-1&4\\0&-2\end{array}\right)\]

Correção FATEC 2025

(A) 5/4
(B) 1/4
(C) − 5/2
(D) 2/3
(E) − 4/3

Gabarito: c)
Solução (no vídeo abaixo):

O post Dada a matriz A abaixo, e sabendo que é invertível apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Considere f a função definida pela expressão f (x)=det M(x) , em que det M(x) é o determinante da matriz M( x) . É correto afirmar que a equação f (x)=– 1

[A] não possui solução real.
[B] possui uma única solução real.
[C] possui apenas duas soluções reais distintas.
[D] possui exatamente 2022 soluções reais distintas.
[E] possui infinitas soluções reais distintas.

Gabarito: b)
Solução no vídeo a seguir:

O post EsPCEx 2022 – Questão 15 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• $$ax-y=|a|$$
• $$(4-5a²)x+ay=1$$.

admite infinitas soluções?

Confira outras questões dessa prova.

a) 1.
b) 2.
c) −1.
d) −2.

Gabarito: c)
Solução (no vídeo a seguir):

O post Unicamp 2023 – 1ª Fase – Q. 53 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Sabemos que $$det(2A) = 2^{4}\cdot det(A) = 16\cdot (-6) = -96$$.
Resolvendo a equação, temos: $$x-97 = -96$$, o que equivale a $$x = 97-96 = 1$$.

O post Determinantes – Exercício 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Ao realizar as duas operações, temos de dividir o determinante por 7 e multiplicá-lo por 3, o que resulta em $$42\cdot 3/7 = 18.

O post Determinantes – Exercício 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) det(-A^T)=det(B)
b) det(A) = – det(B)
c) det (2A) = 2 det(B)
d) Se det(B)≠ 0, então det(AB)<0
e) det(A-I) = – det(I-B)

Solução:
Usando a propriedade do determinante da multiplicação de matrizes, obtemos a relação

\[det(A)=det(M^{-1}BM) = det(M^{-1})\cdot det(B)\cdot det (M).\]

Como $$det(M^{-1}) = 1/det(M)$$, a expressão acima reduz-se a $$det(A)=det(B)$$.
Além disso, pela propriedade do determinante da matriz transposta, sabemos que $$det(A^{T})=det(A)=det(B)$$.

Por fim, como as matrizes têm ordem 2, $$det(-A^{T}) = (-1)^{2}det(A^{T}) = det(A^{T}) = det(B)$$.

O post Determinantes – Exercício 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Solução:
Para resolver o sistema, usamos as seguintes propriedade do determinante:

• $$det (\alpha\cdot A) = \alpha^{n}\cdot A$$, com $$n$$ a dimensão da matriz quadrada.
• $$det(AB) = det(A)\cdot det(B)$$.

Aplicando-se o terminante nos dois lados da equação A²=2A, obtemos

\[det(A²) = det(2A)\Longrightarrow\]

\[(det(A))^{2} = 2^{2}\cdot det(A) \Longrightarrow\]

\[(det(A))^{2}-4\cdot det(A) = 0\Longrigharrow\]

\[det(A)\cdot[det(A) – 4]=0.\]

A equação acima é satisfeita em dois casos: ou $$det(A)=0$$, ou $$det(A) – 4 =0$$. O primeiro caso não é válido, uma vez que a matriz é inversível, logo a única opção é $$det(A) = 4$$.

O post Determinantes – Exercício 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 4
b) 6
c) 8
d) 2
e) 16

Solução:

Recordamo-nos de duas propriedades importantes:

• $$det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$$, quando $$A$$ for inversível.
• $$det (\alpha\cdot A) = \alpha^{n}\cdot A$$, com $$n$$ a dimensão da matriz quadrada.

A equação original 16det (A^-1)= det (2A) $$(*)$$ é reescrita a partir das duas propriedades acima:

\[\frac{16}{det(A)}=16\cdot det(A^{-1})) = det (2A) = 2^{2}\cdot det(A).\]

De $$\frac{16}{det(A)}=4\cdot det(A)$$, temos que (det(A))^{2}= 16/4 = 4$$. As duas possibilidades são $$det(A)=\pm 2$$. Como seu determinante é positivo, a única opção é positiva.

O post Determinantes – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

a) Como B tem inversa, temos, ao multiplicar por B^-1 à direita, que $$AB=BA$$ implica $$A=ABB^{-1}=BAB$$. Agora, multiplicando por B à esquerda, teremos $$B^{-1}A = B^{-1}BAB^{-1} = AB^{-1}$$, que resulta em $$B^{-1}A = AB^{-1}$$.

b) A equação matricial, se multiplicada por B^-1  à esquerda, fornece

\[A^{2}B^{-1}+2ABB^{-1}-BB^{-1}=0\Longrightarrow\]

\[A(AB^{-1}+2I) = A^{2}B^{-1}+2A=I.\]

Aplicando-se o determinante em ambos os lados, obtemos

\[det(A)\cdot det(AB^{-1}+2I)=det (I) = n.\]

Como $$n\neq 0$$, uma vez se tratar do determinante da matriz identidade de ordem n, o produto de determinantes precisa ser diferente de zero. Em particular, $$det(A)\neq 0$$, o que prova a inversibilidade da matriz A.

O post Determinantes – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.