Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e AB-1 a sua inversa. Se 16det (A-1)= det (2A), então o determinante de A vale:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 2
e) 16
Solução:
Recordamo-nos de duas propriedades importantes:
- $$det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$$, quando $$A$$ for inversível.
- $$det (\alpha\cdot A) = \alpha^{n}\cdot A$$, com $$n$$ a dimensão da matriz quadrada.
A equação original 16det (A-1)= det (2A) $$(*)$$ é reescrita a partir das duas propriedades acima:
\[\frac{16}{det(A)}=16\cdot det(A^{-1})) = det (2A) = 2^{2}\cdot det(A).\]
De $$\frac{16}{det(A)}=4\cdot det(A)$$, temos que (det(A))^{2}= 16/4 = 4$$. As duas possibilidades são $$det(A)=\pm 2$$. Como seu determinante é positivo, a única opção é positiva.
