Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz A²=2A, então o determinante de A será:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Solução:
Para resolver o sistema, usamos as seguintes propriedade do determinante:
- $$det (\alpha\cdot A) = \alpha^{n}\cdot A$$, com $$n$$ a dimensão da matriz quadrada.
- $$det(AB) = det(A)\cdot det(B)$$.
Aplicando-se o terminante nos dois lados da equação A²=2A, obtemos
\[det(A²) = det(2A)\Longrightarrow\]
\[(det(A))^{2} = 2^{2}\cdot det(A) \Longrightarrow\]
\[(det(A))^{2}-4\cdot det(A) = 0\Longrigharrow\]
\[det(A)\cdot[det(A) – 4]=0.\]
A equação acima é satisfeita em dois casos: ou $$det(A)=0$$, ou $$det(A) – 4 =0$$. O primeiro caso não é válido, uma vez que a matriz é inversível, logo a única opção é $$det(A) = 4$$.
