Determinantes – Exercício 4

Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz
M inversível tal que: A = M^-1BM. Então:

a) det(-A^T)=det(B)
b) det(A) = – det(B)
c) det (2A) = 2 det(B)
d) Se det(B)≠ 0, então det(AB)<0
e) det(A-I) = – det(I-B)

Solução:
Usando a propriedade do determinante da multiplicação de matrizes, obtemos a relação

\[det(A)=det(M^{-1}BM) = det(M^{-1})\cdot det(B)\cdot det (M).\]

Como $$det(M^{-1}) = 1/det(M)$$, a expressão acima reduz-se a $$det(A)=det(B)$$.
Além disso, pela propriedade do determinante da matriz transposta, sabemos que $$det(A^{T})=det(A)=det(B)$$.

Por fim, como as matrizes têm ordem 2, $$det(-A^{T}) = (-1)^{2}det(A^{T}) = det(A^{T}) = det(B)$$.