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Ângulos no Triângulo – Exercício 3

Plenus — Thu, 19 May 2022 01:43:05 +0000

Em um triângulo ABC, os ângulos $$\hat{B}$$ e $$\hat{c}$$ medem 50º e 70º, respectivamente. A bissetriz do vértice A forma com a reta BC ângulos proporcionais a quais números?

Solução:

Olhando para o triângulo $$ABC$$, podemos calcular, pelo Teorema da Soma dos Ângulos Internos, que $$2x+50+70=180$$, donde se tem que $$2x = 60$$, logo $$x=30$$.

Olhando para o triângulo à esquerda na figura, o ângulo entre a bissetriz e o lado BC é calculado pelo mesmo teorema: $$180-70-30 = 80º$$. Usando o mesmo raciocínio, obtém-se $$x = 180 – 50 – 30 = 100º$$.

A proporcionalidade é $$100/80 = 5/4$$. Os ângulos são proporcionais a 5 e a 4.

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Ângulos no Triângulo – Exercício 2

Plenus — Thu, 19 May 2022 01:20:25 +0000

Sendo AB=BD=CD, calcule x/y.

Solução:

Como $$AB=BD$$, o triângulo $$ABD$$ é isósceles, logo seus ângulos em $$A$$ e $$D$$ são iguais , têm medida $$x$$.

Usando o Teorema do Ângulo Externo no triângulo $$ABD$$ para o ângulo externo em $$B$$, temos $$z=2x$$.

Como $$BD=CD$$, o triângulo $$BDC$$ também é isósceles, então seus ângulos em $$B$$ e $$C$$ são iguais, com valor $$z=2x$$.

O terceiro ângulo deste triângulo, no vértice $$D$$, é igual a $$180º-4x$$, pois a soma dos três ângulos tem de ser igual a 180º, pelo Teorema da Soma dos Ângulos Internos.

Finalmente, observamos que $$y+(180º-4x)+x = 180$$, donde se tem que $$-3x = -y$$, portanto $$y=3x$$.

A razão é $$\frac{x}{y}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$$.

Observação: não podemos aplicar o Teorema do Ângulo Externo em $$BCD$$, porque o ângulo $$y$$ não é ângulo externo relativo ao vértice $$D$$ do triângulo $$BCD$$.

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Ângulos no Triângulo – Exercício 1

Plenus — Wed, 18 May 2022 22:13:25 +0000

(UFMG) Na figura a seguir, calcule x e y em função de a e b.

Solução:

Podemos completar os ângulos do triângulo $$BFE$$. O ângulo sobre o vértice $$F$$ é igual a $$2b$$, pois são opostos pelo vértice.

O ângulo no vértice $$B$$ é $$a+b$$, obtido pelo Teorema do Ângulo Externo aplicado ao triângulo $$ABC$$ no ângulo externo do vértice $$B$.

Novamente pelo teorema do ângulo externo, aplicado no triângulo $$BFE$$, temos que $$x = 2b+ 2a$$, no ângulo externo $$x$$, do vértice $$B$$, e $$y=2a+(a+b) = 3a+b$$, no ângulo externo $$y$$, do vértice $$F$$.

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