Arquivos Lei dos Cossenos - Educacional Plenus

ITA – Seja ABC um triângulo

Plenus — Thu, 19 Feb 2026 10:37:44 +0000

Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado (BC) tais que BM = MN = NC. Sendo α a medida, em radianos, do ângulo MAN , então o valor de cos α é…

Resposta: b) 13/14
Solução (no vídeo abaixo):

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Na figura abaixo, tem-se AC = 3

Plenus — Wed, 11 Sep 2024 10:21:10 +0000

Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é

a) 17/12
b) 19/12
c) 23/12
d) 25/12
e) 29/12

Gabarito: e)
Solução (no vídeo abaixo):

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FUVEST 2009 – Q.74 (1ª Fase)

Plenus — Thu, 12 Oct 2023 09:53:00 +0000

Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA . Sabendo-se também que o perímetro
de ABC vale 15 e que o ângulo (A) mede 120º, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a

a) 25
b) 45
c) 75
d) 105
e) 125

Solução:
Os lados do triângulo, que estão em Progressão Aritmética, serão indicados por $$x-r, x, x+r$$, em que $$r$$ é a razão. Dado que o perímetro é 15, teremos $$x-r+x+x+r = 15$$, então $$3x=15$$, logo $$x=5$$.

O triângulo tem medidas 5-r , 5 e 5+r.

Observe que, impondo r>0, 5+r é a medida do maior lado, o lado oposto ao ângulo de 120º (o maior ângulo). Aplicando a Lei dos Cossenos e sabendo que $$cos(120º) = -1/2$$, teremos

\[(5+r)^{2}=(5-r)^{2}+5^{2}-2\cdot (5-r)\cdot 5\cdot (-\frac{1}{2})\Longrightarrow\]

\[25+10r+r^{2}=25-10r+r^{2}+25+25-5r\Longrightarrow\]

\[25r = 50 \Longrightarrow r =2.\]

Os lados serão 3, 5 e 7, e seu produto é $$3\cdot 5\cdot 7 = 105$$.

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Unicamp 2023 – 1ª Fase – Q. 54

Plenus — Wed, 09 Nov 2022 01:09:08 +0000

A figura seguinte mostra um triângulo retângulo ABC. O ponto M é o ponto médio do lado AB, que é a hipotenusa

O valor de sen α é

a) 24/25.
b) 5/6.
c) 1/2.
d) √3/2 .

Resposta: a)
Solução:

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UNICAMP 2021 – 1ª Fase – 1º Dia – Q.27

Plenus — Fri, 23 Sep 2022 20:35:59 +0000

Considere que os ângulos internos de um triângulo formam uma progressão aritmética. Dado que 𝑎, 𝑏, 𝑐 são as medidas dos lados do triângulo, sendo 𝑎<𝑏<𝑐, é correto
afirmar que

Solução:

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UNICAMP 2013/1ª Fase – Q.42

Plenus — Sat, 06 Aug 2022 21:04:57 +0000

Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases $$2a$$ e $$a$$, respectivamente, e o ângulo $$CAB=30$$. Portanto, o comprimento do segmento CE é:

Solução:

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UNICAMP 2012 – 1ª Fase – Q.15

Guimarães — Tue, 13 Jul 2021 14:10:50 +0000

Texto para as questões 13, 14 e 15.

Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terrestre ($$R_{T}$$) mede $$1,5\times 10^{11}\, m$$ e que o raio da órbita de Júpiter ($$R_{J}$$) equivale a $$7,5\times 10^{11}\, m$$.

Quando o segmento de reta que liga Júpiter ao Sol faz um ângulo de 120° com o segmento de reta que liga a Terra ao Sol, a distância entre os dois planetas é de

a) $$\sqrt{R_{J}^{2} + R_{T}^{2} – R_{J} R_{T}\sqrt{3}}$$.
b) $$\sqrt{R_{J}^{2} + R_{T}^{2} + R_{J} R_{T}\sqrt{3}}$$.
c) $$\sqrt{R_{J}^{2} + R_{T}^{2} – R_{J} R_{T}}$$.
d) $$\sqrt{R_{J}^{2} + R_{T}^{2} + R_{J} R_{T}}$$.

Solução:

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Lei dos Cossenos

Plenus — Fri, 22 Jan 2021 18:23:08 +0000

A Lei dos Cossenos estabelece uma relação entre as medida dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo. Desta forma, é possível realizar diversos cálculos úteis com esta fórmula, a fim de descobrir a distância entre dois vértices de um triângulo, ou mesmo a abertura de um dos vértices. Dado um triângulo $$ABC$$, a lei dos cossenos possui três versões, conforme a figura abaixo.

Exemplo 1

Em um triângulo, os lados de media 2 cm e 3 cm formam um ângulo de 60º. Qual é a medida do terceiro lado do triângulo?

Solução:

Este é um desenho que representa o problema proposto:

Aplicando-se a Lei dos Cossenos para o lado oposto ao ângulo de 60º, temos

\[x^{2}=2^{2}+3^{2}-2\cdot 3\cdot 2\cdot cos(60º)=4+9-12\cdot\frac{1}{2}=7\]

Portanto $$x=\sqrt{7}$$ cm.

Veja também: Lista de Exercícios resolvidos da Lei dos Cossenos.

Exemplo 2

Calcule o comprimento do terceiro lado do triângulo e a medida do ângulo indicado, sabendo que os lados cujas medidas são conhecidas formam um ângulo de 45º.

Solução:

1) Pela Lei dos Cossenos, obtém-se o resultado de $$x$$.

\[x^{2}=5^{2}+12^{2}-2\cdot 5\cdot 12\cdot cos (45º) = 25+144-60\sqrt{2}\cong 84,15\].

$$x\cong 9,1732$$ cm.

2) Aplica-se a Lei dos Cossenos novamente, agora relacionando o lado de 12 cm e o ângulo desconhecido.

\[12^{2}=5^{2}+9,1732^{2}-2\cdot 5\cdot 9,1732\cdot cos(\alpha)\Longrightarrow\]

\[144 – 25 – 84,15 = -91,732\cdot cos(\alpha)\]

Isto implica na equação

\[cos(\alpha)=\frac{34,85}{-91,732}\cong -0,3799.\]

Com auxílio de uma tabela trigonométrica, nota-se que $$arc cos(-0,3799)\cong 112,328º$$, logo $$\alpha = 112,328º$$.

Exemplo 3

Exemplo de como a Lei dos Cossenos é cobrada no vestibular.

Resolução – Unesp 2012 – Questão 85

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Resolução – Unesp 2012 – Questão 85

Plenus — Wed, 25 Nov 2020 22:12:24 +0000

No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos α ≅ 0,934, onde α é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28 · 32 · 93,4 ≅ 215 100, a velocidade média, em km/h, com que a 1.ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de:

(A) 10.
(B) 50.
(C) 100.
(D) 250.
(E) 600.

Solução:

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Resolução – Mackenzie 2016/2 – Q.19 – Campinas

Plenus — Tue, 03 Nov 2020 20:24:42 +0000

No triângulo ABC, da figura acima (figura em vídeo), AM é mediana relativa ao lado BC e é perpendicular ao lado AB. Se as medidas de BC e AM são, respectivamente, 4 cm e 1 cm, então a medida do lado AC, em cm, é

a) √2

b) √3

c) √5

d) √6

e) √7

Solução:

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