A Lei dos Cossenos estabelece uma relação entre as medida dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo. Desta forma, é possível realizar diversos cálculos úteis com esta fórmula, a fim de descobrir a distância entre dois vértices de um triângulo, ou mesmo a abertura de um dos vértices. Dado um triângulo $$ABC$$, a lei dos cossenos possui três versões, conforme a figura abaixo.
Exemplo 1
Em um triângulo, os lados de media 2 cm e 3 cm formam um ângulo de 60º. Qual é a medida do terceiro lado do triângulo?
Solução:
Este é um desenho que representa o problema proposto:
Aplicando-se a Lei dos Cossenos para o lado oposto ao ângulo de 60º, temos
\[x^{2}=2^{2}+3^{2}-2\cdot 3\cdot 2\cdot cos(60º)=4+9-12\cdot\frac{1}{2}=7\]
Portanto $$x=\sqrt{7}$$ cm.
Veja também: Lista de Exercícios resolvidos da Lei dos Cossenos.
Exemplo 2
Calcule o comprimento do terceiro lado do triângulo e a medida do ângulo indicado, sabendo que os lados cujas medidas são conhecidas formam um ângulo de 45º.
Solução:
1) Pela Lei dos Cossenos, obtém-se o resultado de $$x$$.
\[x^{2}=5^{2}+12^{2}-2\cdot 5\cdot 12\cdot cos (45º) = 25+144-60\sqrt{2}\cong 84,15\].
$$x\cong 9,1732$$ cm.
2) Aplica-se a Lei dos Cossenos novamente, agora relacionando o lado de 12 cm e o ângulo desconhecido.
\[12^{2}=5^{2}+9,1732^{2}-2\cdot 5\cdot 9,1732\cdot cos(\alpha)\Longrightarrow\]
\[144 – 25 – 84,15 = -91,732\cdot cos(\alpha)\]
Isto implica na equação
\[cos(\alpha)=\frac{34,85}{-91,732}\cong -0,3799.\]
Com auxílio de uma tabela trigonométrica, nota-se que $$arc cos(-0,3799)\cong 112,328º$$, logo $$\alpha = 112,328º$$.
Exemplo 3
Exemplo de como a Lei dos Cossenos é cobrada no vestibular.
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