Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA . Sabendo-se também que o perímetro
de ABC vale 15 e que o ângulo (A) mede 120º, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a
a) 25
b) 45
c) 75
d) 105
e) 125
Solução:
Os lados do triângulo, que estão em Progressão Aritmética, serão indicados por $$x-r, x, x+r$$, em que $$r$$ é a razão. Dado que o perímetro é 15, teremos $$x-r+x+x+r = 15$$, então $$3x=15$$, logo $$x=5$$.
O triângulo tem medidas 5-r , 5 e 5+r.
Observe que, impondo r>0, 5+r é a medida do maior lado, o lado oposto ao ângulo de 120º (o maior ângulo). Aplicando a Lei dos Cossenos e sabendo que $$cos(120º) = -1/2$$, teremos
\[(5+r)^{2}=(5-r)^{2}+5^{2}-2\cdot (5-r)\cdot 5\cdot (-\frac{1}{2})\Longrightarrow\]
\[25+10r+r^{2}=25-10r+r^{2}+25+25-5r\Longrightarrow\]
\[25r = 50 \Longrightarrow r =2.\]
Os lados serão 3, 5 e 7, e seu produto é $$3\cdot 5\cdot 7 = 105$$.
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