a) 0.
b) 1.
c) 1+i.
d) ݅i.

Solução:

Não precisamos aplicar a soma de uma progressão geométrica! Basta observarmos duas coisas:

1) Na soma em questão, o fator $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$ ocorre diversas vezes. Por exemplo, nós sabemos, das potências de i, que $$i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}=i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$.

Como o último expoente é o 2013, basta fazermos a divisão inteira por 4, ou seja, $$2013:4 = 503\cdot 4 + 1$$. Assim, observamos que aquela soma ocorre 503 vezes.

Além disso, $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}=i-1-i+1=0$$. Ou seja,

\[i^{0}+i+…+i^{2013}=i^{0}+(i^{1}+i^{2}+…+ i^{2012})+i^{2013}\]

\[=i^{0}+ 503\cdot (i+i^{2}+i^{3}+i^{4})+i^{2013}=1+i^{2013}.\]

2) Utilizando a mesma divisão inteira, podemos escrever $$i^{2013}=i^{503\cdot 4 + 1}=(i^{4})^{503}\cdot i = i$$. Temos, portanto, a soma equivalente a $$1+i$$.

Resposta: c)

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Já sabemos que a unidade imaginária dos complexos é definida como $$i^{2}=-1$$. Se quisermos calcular, por exemplo, $$i^{3}$$, como podemos fazer? Simples! Podemos escrever, usando a propriedade das potências dos números reais, que

\[i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i\].

Procedemos do mesmo modo com $$i^{4}$$:

\[i^{4}=i^{2}\cdot  i^{2}=(-1)(-1) = 1.\]

A partir daqui, sempre encontraremos os mesmos valores. Observe:

\[i^{7}=i^{3}\cdot i^{3}\cdot i = (-i)(-i)i = -i.\]

Aqui está o pulo do gato: as potências inteiras positivas da unidade imaginária sempre pertencerão ao conjunto $$\{1,i,-1,-i\}$$, de modo que as primeiras potências listadas são

• $$i^{0}=1$$;
• $$i^{1}=i$$;
• $$i^{2}=-1$$;
• $$i^{3}=-i$$; e
• $$i^{4}=1$$.

A cada quatro inteiros positivos, as potências se repetem!

Resto da divisão por 4

Para facilitar a nossa vida, memorizamos as potências de $$i,i^{2},i^{3}$$ e $$i^{4}$$, e potências maiores são calculadas pelo resto da divisão do expoente por 4. Veja o exemplo de $$i^{121}$$:

\[121 = 4\cdot 30 + 1.\]

Escrevemos

\[i^{121} = i^{4\cdot 30 + 1}=(i^{4})^{30}\cdot i = 1^{30}\cdot i = i.\]

Bastaria que fizéssemos $$i^{121}=i^{1}=i$$.

Qualquer potência superior a 4, portanto, pode ser igualada a potências de seus respectivos restos!

Exemplo: Quanto é $$i^{139}$$? Veja a resposta! 

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Confira a correção do Vestibular 2014 da UNICAMP

Confira mais exercícios resolvidos de Números Complexos em nosso site!

a) 0
b) √2 .
c) √3 .
d) 1.

Solução:

Dividindo 2014 por 4, obtemos um quociente igual 503 e um resto igual a 2; $$2014 = 503\cdot 4 + 2$$.
Dividindo 1987 por 4, obtemos um quociente igual a 496 e um resto igual 3; $$1987 = 496\cdot 4 + 3$$.
Assim, $$i^{2014}=i^{503\cdot 4 + 2}=(i^{4})^{503}\cdot i^{2}$$ e $$i^{1987}=i^{496\cdot 4 + 3}=(i^{4})^{496}\cdot i^{3}$$

$$z=(i^{4})^{503}\cdot i^{2}-(i^{4})^{496}\cdot i^{3}=i^{2}-i^{3}=-1+i$$
O módulo deste complexo é:
\[|z|^{2}=1^{2}+1^{2}\longrightarrow |z|=\sqrt{2}\].

Resposta: b)

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