Quando falamos dos números complexos, não podemos fugir do cálculo de potências da unidade imaginária! É um assunto recorrente nas provas escolares e em vestibulares. E o assunto é simples!
Já sabemos que a unidade imaginária dos complexos é definida como $$i^{2}=-1$$. Se quisermos calcular, por exemplo, $$i^{3}$$, como podemos fazer? Simples! Podemos escrever, usando a propriedade das potências dos números reais, que
\[i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i\].
Procedemos do mesmo modo com $$i^{4}$$:
\[i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)(-1) = 1.\]
A partir daqui, sempre encontraremos os mesmos valores. Observe:
\[i^{7}=i^{3}\cdot i^{3}\cdot i = (-i)(-i)i = -i.\]
Aqui está o pulo do gato: as potências inteiras positivas da unidade imaginária sempre pertencerão ao conjunto $$\{1,i,-1,-i\}$$, de modo que as primeiras potências listadas são
- $$i^{0}=1$$;
- $$i^{1}=i$$;
- $$i^{2}=-1$$;
- $$i^{3}=-i$$; e
- $$i^{4}=1$$.
A cada quatro inteiros positivos, as potências se repetem!
Resto da divisão por 4
Para facilitar a nossa vida, memorizamos as potências de $$i,i^{2},i^{3}$$ e $$i^{4}$$, e potências maiores são calculadas pelo resto da divisão do expoente por 4. Veja o exemplo de $$i^{121}$$:
\[121 = 4\cdot 30 + 1.\]
Escrevemos
\[i^{121} = i^{4\cdot 30 + 1}=(i^{4})^{30}\cdot i = 1^{30}\cdot i = i.\]
Bastaria que fizéssemos $$i^{121}=i^{1}=i$$.
Qualquer potência superior a 4, portanto, pode ser igualada a potências de seus respectivos restos!
Exemplo: Quanto é $$i^{139}$$? Veja a resposta!
