1ª Fase - UnicampNúmeros Complexos
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UNICAMP 2013 – 1ª Fase – Q.48

Chamamos de unidade imaginária e denotamos por ݅i o número complexo tal que ݅i²=-1.  Então $$i^{0}+i+…+i^{2013}$$ vale:

a) 0.
b) 1.
c) 1+i.
d) ݅i.



Solução:

Não precisamos aplicar a soma de uma progressão geométrica! Basta observarmos duas coisas:

1) Na soma em questão, o fator $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$ ocorre diversas vezes. Por exemplo, nós sabemos, das potências de i, que $$i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}=i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$.

Como o último expoente é o 2013, basta fazermos a divisão inteira por 4, ou seja, $$2013:4 = 503\cdot 4 + 1$$. Assim, observamos que aquela soma ocorre 503 vezes.

Além disso, $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}=i-1-i+1=0$$. Ou seja,

\[i^{0}+i+…+i^{2013}=i^{0}+(i^{1}+i^{2}+…+ i^{2012})+i^{2013}\]

\[=i^{0}+ 503\cdot (i+i^{2}+i^{3}+i^{4})+i^{2013}=1+i^{2013}.\]

2) Utilizando a mesma divisão inteira, podemos escrever $$i^{2013}=i^{503\cdot 4 + 1}=(i^{4})^{503}\cdot i = i$$. Temos, portanto, a soma equivalente a $$1+i$$.

Resposta: c)

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