1ª Fase - UnicampNúmeros Complexos
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UNICAMP 2014 – 1ª Fase (Q.47)

O módulo do número complexo $$z=i^{2014}-i^{1987}$$ é igual a

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a) 0
b) √2 .
c) √3 .
d) 1.

Solução:

Dividindo 2014 por 4, obtemos um quociente igual 503 e um resto igual a 2; $$2014 = 503\cdot 4 + 2$$.
Dividindo 1987 por 4, obtemos um quociente igual a 496 e um resto igual 3; $$1987 = 496\cdot 4 + 3$$.
Assim, $$i^{2014}=i^{503\cdot 4 + 2}=(i^{4})^{503}\cdot i^{2}$$ e $$i^{1987}=i^{496\cdot 4 + 3}=(i^{4})^{496}\cdot i^{3}$$

$$z=(i^{4})^{503}\cdot i^{2}-(i^{4})^{496}\cdot i^{3}=i^{2}-i^{3}=-1+i$$
O módulo deste complexo é:
\[|z|^{2}=1^{2}+1^{2}\longrightarrow |z|=\sqrt{2}\].

Resposta: b)

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