Contraexemplo:

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Solução:

Referências:

[1] – Hoffmann, K. , Kunze, R. – Linear Algebra

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Dados os subespaços vetorias $$V_{i}$$ de um espaço $$V$$, define-se $$V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus …\oplus V_{n}$$ como a soma direta interna, se, e somente se, todo elemento $$v\in V$$ pode ser escrito de maneira única como $$v=v_{1}+…+v_{n}$$, em que $$v_{i}\in V_{i}$$.

Define-se também $$W=V_{1}\times …\times V_{n}$$, em que a operação de soma de vetores é a soma direta externa: $$(v_{1},…,v_{n})\boxplus (v’_{1},…,v’_{n}) = (v_{1}+v’_{1},…,v_{n}+v’_{n})$$.

Teorema: Prove que $$V$$ é isomorfo a $$W$$.

Demonstração:

Dado $$u\in V$$, pode-se escrever de maneira única $$u=v_{1}+…+v_{n}$$. A relação $$\phi: V\longrightarrow W$$, com $$\phi (u)=(v_{1},…,v_{n})$$ é uma bijeção linear entre os espaços.

Segue a demonstração da afirmação anterior.

1) A relação é uma função, isto é, está bem definida.

De fato, como $$u=v_{1}+…+v_{n}$$, é certo que todo $$u\in V$$ terá um representante em $$W$$ da forma $$\phi(u)=(v_{1},…,v_{n})$$.

Seja $$u’ = v’_{1}+…+v’_{n}$$. Se $$u=u’$$, é certo que $$v_{i}=v’_{i}$$, uma vez que a soma direta garante haver apenas uma decomposição vetorial de $$u$$ no formato apresentado. Daqui, $$\phi(u’)=(v’_{1},…,v’_{n})=(v_{1},…,v_{n})=\phi(u)$$.

2) A função é linear.

Com efeito, seja $$\alpha\in\mathbb{F}$$, $$\phi(\alpha\cdot u + u’) = \phi(\alpha\cdot v_{1}+v_{1}+…+\alpha\cdot u_{n}+u’_{n})=(\alpha\cdot v_{1}+v’_{1},…,\alpha\cdot v_{n}+v’_{n})=$$

$$(\alpha\cdot v_{1},…,\alpha\cdot v_{n})+(v’_{1},…,v’_{n})=\phi (\alpha\cdot u)+\phi (u) = \alpha\cdot (v_{1},…,v_{n})+\phi(u’)=\phi(u)+\phi(u’)$$.

Observação: $$\phi(0)=(0+…+0)=(0,…,0)$$, dado que $$u=0\Longleftrightarrow v_{i}=0$$.

3) A função é injetora.

De fato, se $$\phi(u)=\phi(u’)\Longrightarrow (v_{1},…,v_{n})=(v’_{1},…,v’_{n})$$. Daqui, tem-se que $$v_{i}=v’_{i}$$, portanto $$u=v_{1}+…+v_{n}=v’_{1}+…+v’_{n}=u’$$.

4) A função é sobrejetora.

De fato, toda sequência $$(v_{1},…,v_{n})$$ gera um elemento em $$V$$ na forma $$u=v_{1}+…v_{n}$$.

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a) $$E_{p}$$ e $$E_{i}$$ são subespaços vetoriais.

b) $$E_{p}\cap E_{i}=\emptyset$$.

c) $$V= E_{p}\oplus E_{i}$$ (soma direta).

Solução:

a) 

Sejam $$\phi (x)$$ e $$\varphi(x)$$, funções reais pares, isto é, $$\phi (-x)=\phi (x)$$ e $$\varphi(-x)=\varphi(x)$$.

i. A função $$0(x)=0$$, para todo $$x\in\mathbb{R}$$. Em particular, nota-se que $$0(x)=0=-0=0(-x)$$.

Portanto $$0(x)\in E_{i}$$.

ii. A soma de funções pares está em $$E_{i}$$. De fato, basta observar que:

\[g(x)=\phi (x) + \varphi(x)=\phi (-x) + \varphi(-x)=g(-x)\].

Portanto $$g(x)$$ é par.

iii. A multiplicação por escalar está em $$E_{i}$$. De fato, para $$\alpha\in\mathbb{R}$$, basta observar que:

\[h(x)=(\alpha\phi)(x)=\alpha\cdot\phi(x)=\alpha\cdot\phi(-x)=(\alpha\phi)(-x)=h(-x)\]

Portanto $$h(x)$$ é par.

Um raciocínio análogo vale para o subespaço das funções ímpares.

b) De (i), sabemos que $$0(x)$$ é par e ímpar. Supomos a existência de $$\eta(x)$$ que seja ímpar e par, isto é, valerá, para todo $$x\in\mathbb{R}$$, a relação:

\[\eta(-x)=\eta(x)=-\eta(x)\].

O único número que satisfaz à relação $$a=-a$$ é o número zero. Portanto, para todo $$x\in\mathbb{R}$$, $$\eta(x)=0$$.

Portanto $$E_{p}\cap E_{i}=\{0(x)\}$$.

c) Seja $$f(x)\in V$$. Podemos escrevê-la assim: $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$. Qualquer função real pode ser escrita como combinação linear de termos análogos ao de cima.

Agora, basta provarmos que o primeiro termo é uma função par, e o segundo termo é uma função ímpar.

\[g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(-x) \].

\[h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{-f(-x)+f(x)}{2}=-\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-h(x)\].

Portanto uma função real é combinação linear de uma função par e de uma função ímpar. Como a intersecção dos espaços é igual ao vetor nulo, temos $$V=E_{p}\oplus E_{i}$$.

Referências:

[1] – Hoffmann, K. , Kunze, R. – Linear Algebra

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