Seja $$V$$ o espaço vetorial das funções dos reais nos reais. Seja $$E_{p}$$ o subconjunto de $$V$$, cujas funções são pares. Seja $$E_{i}$$ o subconjunto com funções ímpares. Prove os itens:
a) $$E_{p}$$ e $$E_{i}$$ são subespaços vetoriais.
b) $$E_{p}\cap E_{i}=\emptyset$$.
c) $$V= E_{p}\oplus E_{i}$$ (soma direta).
Solução:
a)
Sejam $$\phi (x)$$ e $$\varphi(x)$$, funções reais pares, isto é, $$\phi (-x)=\phi (x)$$ e $$\varphi(-x)=\varphi(x)$$.
i. A função $$0(x)=0$$, para todo $$x\in\mathbb{R}$$. Em particular, nota-se que $$0(x)=0=-0=0(-x)$$.
Portanto $$0(x)\in E_{i}$$.
ii. A soma de funções pares está em $$E_{i}$$. De fato, basta observar que:
\[g(x)=\phi (x) + \varphi(x)=\phi (-x) + \varphi(-x)=g(-x)\].
Portanto $$g(x)$$ é par.
iii. A multiplicação por escalar está em $$E_{i}$$. De fato, para $$\alpha\in\mathbb{R}$$, basta observar que:
\[h(x)=(\alpha\phi)(x)=\alpha\cdot\phi(x)=\alpha\cdot\phi(-x)=(\alpha\phi)(-x)=h(-x)\]
Portanto $$h(x)$$ é par.
Um raciocínio análogo vale para o subespaço das funções ímpares.
b) De (i), sabemos que $$0(x)$$ é par e ímpar. Supomos a existência de $$\eta(x)$$ que seja ímpar e par, isto é, valerá, para todo $$x\in\mathbb{R}$$, a relação:
\[\eta(-x)=\eta(x)=-\eta(x)\].
O único número que satisfaz à relação $$a=-a$$ é o número zero. Portanto, para todo $$x\in\mathbb{R}$$, $$\eta(x)=0$$.
Portanto $$E_{p}\cap E_{i}=\{0(x)\}$$.
c) Seja $$f(x)\in V$$. Podemos escrevê-la assim: $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$. Qualquer função real pode ser escrita como combinação linear de termos análogos ao de cima.
Agora, basta provarmos que o primeiro termo é uma função par, e o segundo termo é uma função ímpar.
\[g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(-x) \].
\[h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{-f(-x)+f(x)}{2}=-\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-h(x)\].
Portanto uma função real é combinação linear de uma função par e de uma função ímpar. Como a intersecção dos espaços é igual ao vetor nulo, temos $$V=E_{p}\oplus E_{i}$$.
Referências:
[1] – Hoffmann, K. , Kunze, R. – Linear Algebra
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