Operações de Conjuntos
União e Intersecção
Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a união é traduzida da seguinte maneira: \[A\cup B =\{x;x\in A\;ou\; x\in B\}\].
Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a intersecção é traduzida da seguinte maneira: \[A\cap B =\{x;x\in A\;e\; x\in B\}\].
O conectivo ou expressa que o elemento pode ser tomado de qualquer região dos conjuntos em questão. O conectivo e expressa a simultaneidade, ou seja, indica que o elemento pertence aos dois conjuntos, ao mesmo tempo.
Inclusão
Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a inclusão de conjuntos é denotada por $$A\subset B$$. Isto traduz que $$A$$ é parte de $$B$$, ou, em outras palavras, $$A$$ é subconjunto de $$B$$.
A relação de inclusão carrega as seguintes propriedades algébricas:
i. $$A\subset A$$ — Propriedade Reflexiva;
ii. se $$A\subset B$$ e $$B\subset A$$, então $$A=B$$ — Propriedade Antissimétrica;
iii. se $$A\subset B$$ e $$B\subset A$$, então $$A\subset C $$— Propriedade Transitiva.
Propriedades Algébricas dos Conjuntos
União
- Associativa: $$A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C$$
- Comutativa: $$A\cup B = B\cup A$$
- Distributiva em relação à intersecção: $$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$
- União com o vazio: $$A\cup\emptyset = A$$.
- União com o complementar: $$A\cup \bar{A}=U$$ (conjunto universo).
Intersecção
- Associativa: $$A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C$$
- Comutativa: $$A\cap B = B\cap A$$
- Distributiva em relação à união: $$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$
- Intersecção com o complementar: $$A\cap\bar{A} = \emptyset$$.
- Intersecção com o universo: $$A\cap U=A$$.
Diversas
- Lei da Idempotência: $$A=A\cup A=A\cap A$$.
- Lei da Absorção: $$A=A\cup (A\cap B)= A\cap (A\cup B)$$.
- Lei de Morgan: $$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap\bar{B}$$. [Demonstração]
- Lei de Morgan: $$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup\bar{B}$$. [Demonstração]