Resolução – ENEM 2016 (2ª aplicação) – Matemática

Questão

O quadro apresenta a ordem de colocação dos seis primeiros países em um dia de disputa nas Olimpíadas. A ordenação é feita de acordo com as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente.

Se as medalhas obtidas por Brasil e Argentina fossem reunidas para formar um único país hipotético, qual a posição ocupada por esse país?

a) 1ª

b) 2ª

c) 3ª

d) 4ª

e) 5ª

Solução:

Somando as medalhas do Brasil e da Argentina, teríamos: 5 de ouro , 7 de prata e 17 de Bronze. Haveria empate com os Estados Unidos, nas medalhas de ouro e prata, porém a soma dos dois países superaria os Estados Unidos em medalhas de bronze, fazendo com que o conjunto Brasil e Argentina superasse os EUA, assumindo, portanto, a 2ª colocação na tabela.

Resposta: b)

Questão

Na figura estão representadas três retas no plano cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as retas, e A, B e C os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x.

Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três equações e duas incógnitas que

a) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se intersectam.

b) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos A, B e C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das abscissas.

c) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em mais de um ponto.

d) não possui solução real, pois não há ponto que pertença simultaneamente às três retas.

e) possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em que se intersectam.

Solução:

Os pontos de intersecção entre duas retas representam um par que satisfaz as duas equações simultaneamente. Neste sistema, há 3 equações distintas, porém não há um ponto de intersecção entre as três, evidenciando não existir uma solução simultânea para as três equações.

Resposta: d)

Questão

Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura.

A área para o público será cercada com dois tipos de materiais: ‡

  • nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00; ‡
  • nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00. A empresa dispõe de R$ 5 000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público.

A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é

a) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B.

b) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B.

c)  100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B.

d) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B.

e) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B.

Solução: A área do retângulo será $$A=x\cdot y$$. Por outro lado, o custo, em função do comprimento de cada segmento do terreno cercado será $$C=20x+20x+5y+5y=40x+10y$$. Este custo deve ser, no máximo, igual a R$ 5000,00, conforme o enunciado.

Assim, temos $$y=\frac{5000-40x}{10}=500-4x$$. Substituindo na equação da área, teremos:

\[A=x\cdot(500-4x)=500x-4x^{2}\]. Agora, estamos numa equação do segundo grau, a qual permite-nos calcular o valor de $$x$$, para o qual a área é máxima. Para tanto, utilizamos o $$x$$ do vértice.

\[x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{500}{2\cdot (-4)}=62,5m\].

Substituindo na primeira equação, teremos $$y=500-4\cdot 62,5 = 250m$$.

$$2x=125m$$ e $$2y=500m$$.

Resposta: d)

Questão

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Um clube tem um campo de futebol com área total de 8 000 m² , correspondente ao gramado. Usualmente, a poda da grama desse campo é feita por duas máquinas do clube próprias para o serviço. Trabalhando no mesmo ritmo, as duas máquinas podam juntas 200 m² por hora. Por motivo de urgência na realização de uma partida de futebol, o administrador do campo precisará solicitar ao clube vizinho máquinas iguais às suas para fazer o serviço de poda em um tempo máximo de 5 h. Utilizando as duas máquinas que o clube já possui, qual o número mínimo de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar ao clube vizinho?

a) 4

b) 6

c) 8

d) 14

e) 16

Solução:

Resposta: d)

Questão

O gráfico mostra a média de produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, no período de 2004 a 2010. Estimativas feitas naquela época indicavam que a média de produção diária de petróleo no Brasil, em 2012, seria 10% superior à média dos três últimos anos apresentados no gráfico.

Disponível em: http://blogs.estadao.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.

Se as estimativas tivesse sido confirmadas, a estimativa média de produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, em 2012, teria sido igual a

a) 1,940.

b) 2,134.

c) 2,167.

d) 2,420.

e) 6,402.

Solução:

Primeiro, calculamos a média dos três últimos anos exibidos no gráfico. Recorde-se de que os números representam uma escala de milhão de barris.

\[=\frac{1,85+1,97+2,0}{3}=1,94\]

Agora, utilizamos a fórmula de acréscimo percentual para calcular a quantidade prevista para a produção de petróleo. $$V_{final}=V_{inicial}\cdot (1+i)$$, onde $$i$$ é a unidade percentual.

\[V_{final}=1,94(1+10\%)=1,94\cdot 1,1=2,134\].

Resposta: b)


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