Resolução – ENEM 2016 – Matemática (continuação 4)

Questão

Uma família resolveu comprar um imóvel num bairro cujas ruas estão representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas.

A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A. Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas

a) 3 e C.

b) 4 e C.

c) 4 e D.

d) 4 e E.

e) 5 e C.

Solução:

Por ser possível apenas percorre quarterões (eles não atravessam paredes!!), então, pela figura, observamos a solução do problema.

Resposta: c)

Questão

Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a

a) 7,5 e 14,5.

b) 9,0 e 16,0.

c) 9,3 e 16,3.

d) 10,0 e 17,0.

e) 13,5 e 20,5.

Solução:

A fim de que os terrenos tenham a mesma área, é necessário que a área do retângulo seja equivalente à soma das áreas dos triângulos cinza e verde, na figura a seguir.


Os dois triângulos são retângulos. O cinza tem as medidas dos catetos valendo 15m, o triângulo verde tem as medidas dos catetos valendo 21m e 3m. A área doo triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2, e a área do retângulo é o produto dos lados. Assim, teremos a seguinte equação:

\[x(x+7)=\frac{15\cdot 15}{2}+\frac{21\cdot 3}{2}=\frac{225+63}{2}=\frac{288}{2}=144\Longrightarrow\]

\[x^{2}+7x-144=0\Longrightarrow x=\frac{-7\pm\sqrt{7^{2}+4\cdot(-144)}}{2}=\frac{-7\pm\sqrt{625}}{2}\].

Escolhendo apenas o valor positivo, teremos: $$x=\frac{-7+25}{2}=9$$.

Os lados do retângulo são $$9$$ e $$9+7=16$$, respectivamente.

Resposta: b)

Questão

Preocupada com seus resultados, uma empresa fez um balanço dos lucros obtidos nos últimos sete meses, conforme dados do quadro.

Avaliando os resultados, o conselho diretor da empresa decidiu comprar, nos dois meses subsequentes, a mesma quantidade de matéria-prima comprada no mês em que o lucro mais se aproximou da média dos lucros mensais dessa empresa nesse período de sete meses. Nos próximos dois meses, essa empresa deverá comprar a mesma quantidade de matéria- -prima comprada no mês

a) I.

b) II.

c) IV.

d) V.

e) VII.

Solução:

Basta calcularmos a média aritmética do lucro dos meses e observaremos em qual foi o mês em que o lucro mais se aproximou da média.

\[\frac{37+33+35+22+30+35+25}{7}=31\].

O lucro mensal mais próximo foi de 30 milhões de reais (mês V).

Resposta: d)

Questão

Densidade absoluta (d) é a razão entre a massa de um corpo e o volume por ele ocupado. Um professor propôs à sua turma que os alunos analisassem a densidade de três corpos: $$d_{A}$$, $$d_{B}$$, $$d_{C}$$. Os alunos verificaram que o corpo A possuía 1,5 vez a massa do corpo B e esse, por sua vez, tinha 3/4 da massa do corpo C. Observaram, ainda, que o volume do corpo A era o mesmo do corpo B e 20% maior do que o volume do corpo C. Após a análise, os alunos ordenaram corretamente as densidades desses corpos da seguinte

a) $$d_{B} < d_{A} < d_{C}$$

b) $$d_{B} = d_{A} < d_{C}$$

c) $$d_{C} < d_{B} = d_{A}$$

d) $$d_{B} < d_{C} < d_{A}$$

e) $$d_{C} < d_{B} < d_{A}$$

Solução:

Anotamos os dados do enunciado. Aqui, $$m$$ é massa, e $$V$$, volume. O índice subscrito indica de qual corpo é o respectivo índice (massa ou volume).

$$m_{A}=1,5\cdot m_{B}$$    ,    $$m_{B}=\frac{3}{4}m_{C}$$.

$$V_{A}=V_{B}$$    ,    $$V_{B}=V_{C}\cdot (1+20\%)=1,2\cdot V_{C}$$

Assim, calculamos as densidades de cada corpo, em função da densidade de outro.

$$d_{A}=\frac{m_{A}}{V_{A}}=\frac{1,5m_{B}}{V_{B}}=1,5\cdot\frac{m_{B}}{V_{B}}=1,5\cdot d_{B}$$.

$$d_{B}=\frac{m_{B}}{V_{B}}=\frac{(3/4)\cdot m_{C}}{1,2\cdot V_{C}}=\frac{3}{4\cdot 1,2}\cdot\frac{m_{C}}{V_{C}}=0,625 \cdot d_{C}$$.

$$d_{A}=1,5\cdot d_{B}=1,5\cdot 0,625\cdot d_{C}= 0,9375\cdot d_{C}$$.

Observamos, portanto, que $$d_{B}<d_{A}<d_{C}$$.

Resposta: a)

Questão

No tanque de um certo carro de passeio cabem até 50 L de combustível, e o rendimento médio deste carro na estrada é de 15 km/L de combustível. Ao sair para uma viagem de 600 km o motorista observou que o marcador de combustível estava exatamente sobre uma das marcas da escala divisória do medidor, conforme figura a seguir.

Como o motorista conhece o percurso, sabe que existem, até a chegada a seu destino, cinco postos de abastecimento de combustível, localizados a 150 km, 187 km, 450 km, 500 km e 570 km do ponto de partida.

Qual a máxima distância, em quilômetro, que poderá percorrer até ser necessário reabastecer o veículo, de modo a não ficar sem combustível na estrada?

a) 570

b) 500

c) 450

d) 187

e) 150

Solução:

A figura mostra que o ponteiro situa-se sobre a metade da primeira metade do mostrador, deste modo, podemos dizer que a quantidade de combustível é de metade + $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$. Isto é, o motorista conta com $$\frac{3}{4}$$ do tanque. Isto equivale a $$\frac{3}{4}\cdot 50= 37,5 L$$.

Conhecendo o rendimento do veículo, calculamos a distância que poderá percorrer com este volume de combustível.

1L ———-     15Km

37,5 ——–     $$x$$

$$x=15\cdot 37,5= 562,5 Km$$.

Como o posto mais próximo estará em 570 Km, distância superior à quilometragem permitida com aquele volume de combustível, ele terá de parar no posto anterior, em 500 Km de distância a partir do ponto de partida.

Resposta: b)

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