Resolução – PUC – Campinas 2017 – Matemática

Questão 21

O tempo de um dia é medido em um período chamado hora e em número de 24 horas. Esse mesmo tempo poderia ser subdividido em 54 períodos iguais, chamados de TAS. Assim, um dia teria 54 TAS. Nesta hipótese, considere subdivisões decimais da unidade de medida TAS. Decorridas 7 horas e 40 minutos de um evento, esse mesmo tempo, medido em TAS, é igual a

a) 13,5.

b) 21,25.

c) 17,25.

d) 15,1.

e) 19,75.

Solução:

A proporção entre “TAS” e “horas” é dada a seguir.

24 horas ———- 54 tas.

Para 7 Horas e 40 minutos, teremos de calcular o total de horas em valores decimais. Para isso, considere:

1 hora ———- 60 min

$$x$$ ———- 40min

$$60x=40\Longrightarrow x=\frac{2\cdot 2\cdot 10}{2\cdot 3\cdot 10}=\frac{2}{3}\cong 0,666$$ de hora.

Assim, o total de horas será de 7,666 (7+0,666).

Agora, aplica-se a proporção inicial.

24 h   ———- 54 tas.

7,666 h ———- $$x$$.

$$24x = 7,666\cdot 54 \Longrightarrow x=\frac{54\cdot 7,666}{24}\cong 17,25$$.

Resposta: c)

Questão 22

Considere dois troncos de pirâmides retas exatamente iguais. A base maior é um quadrado de lado igual a 2 metros, a base menor um quadrado de lado igual a 1 metro, e a distância entre as bases igual a 1 metro. Um monumento foi construído justapondo-se esses dois troncos nas bases menores, apoiando-se em um piso plano por meio de uma das bases maiores, formando um sólido. Desta maneira, a medida da área da superfície exposta do monumento é, em m², igual a

Solução:

1) Notamos que as faces em evidenciadas são 8 faces trapezoidais (em forma de trapézios iguais) e uma face quadrada maior. O desafio é calcular a altura das faces trapezoidais, utilizando a altura do tronco de pirâmide e os lados das faces.

Observe a vista seccionada da pirâmide. Os trapézios das faces se encontram “virados” para os lados. Observe também que $$x+1+x=2\longrightarrow x=0,5$$. Saiba que $$h_{pir}=1$$, isto é a altura da pirâmide.

Por Pitágoras, temos que $$h^{2}_{trap}=h^{2}_{pir}+x^{2}=1+0,5^{2}=\frac{125}{100}\longrightarrow h_{trap}=\frac{5\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$.

A área das faces trapezoidais é \[A=h_{trap}\frac{b+B}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\frac{1+2}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{4}\].

2) Há 8 faces na forma de trapézio, quando observamos as figuras justapostas. Então a área destas faces unidas será $$8\cdot A=8\frac{3\sqrt{5}}{4}= 6\sqrt{5}$$.

Somamos a este valor, a área da base maior (apontada para cima), que está exposta. Logo temos\[A_{total}=6\sqrt{5}+4\].

Resposta: b)

Questão 24

Para desbloquear a tela de um aparelho celular, o usuário deve digitar uma senha de três algarismos quaisquer. Note que também são válidas senhas, por exemplo, 088 ou 000. Se a pessoa digita duas vezes a senha errada, o mecanismo de segurança do aparelho trava a tela por uma hora. Rafael esqueceu sua senha, mas lembra que ela formava um número que era: quadrado perfeito, menor do que 900 e múltiplo de 3. Usando corretamente suas três lembranças, as chances de Rafael conseguir desbloquear a tela do seu celular, sem que ela trave por uma hora, são iguais a

Solução:

1) O espaço amostral (total de possibilidades existentes) é formado por todas os números possíveis formados com 10 dígitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dentro das restrições impostas por Rafael, de acordo com sua lembrança. Vejamos quantos números são quadrados perfeitos, menores que 900.

De fato, $$900=30\cdot 30$$.  O último número possível será $$29\cdot 29= 841$$.

A fim de que estes quadrados perfeitos sejam múltiplos de três, é necessário que suas raízes sejam múltiplas de 3. Por exemplo, $$12\cdot 12 = 144$$. O número 144 será múltiplo de três porque 12 é múltiplo de três. Por isso, o conjunto das raízes ´quadradas será {1,2,…27,28,29}.

Para saber qual destes números é múltiplo de 3, basta tomar a sequência $$a_{n}=3n$$. O primeiro elemento, por exemplo, será $$a_{1}=3$$, e assim por diante.

Desta feita, tem-se

\[a_{n}<30\Longrightarrow 3n<30\Longrightarrow n<\frac{30}{3}=10\].

O menor inteiro deste número será $$n=9$$. Logo existem apenas 9 possibilidades de senhas sob o modelo de Rafael.

2) A probabilidade de Rafael não travar o celular ocorre em dois casos: acertar na primeira vez que digitar ou acertar na segunda vez que digitar.

Na primeira vez: Há uma senha para 9, portanto a probabilidade é $$\frac{1}{9}$$.

Na segunda vez: ele errou a primeira (há 8 senhas erradas), então $$p=\frac{8\cdot 1}{9\cdot 8}=\frac{1}{9}$$.

Pelo princípio aditivo, temos $$p_{final}=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$$.

Resposta: a)

Questão 32

No mundo da gastronomia muitas vezes é necessário ampliar ou reduzir receitas devido a alterações no número de participantes de determinada refeição. Uma receita propõe a utilização de 280 mL de leite na execução de uma sobremesa para 5 pessoas, e há a necessidade de executá-la exatamente para 54 pessoas. Se as embalagens de leite contêm 500 mL cada, então, é necessário ter em mãos pelo menos

a) 2,5 L de leite.

b) 3,5 L de leite.

c) 5,0 L de leite.

d) 4,0 L de leite.

e) 3,0 L de leite.

Solução:

A proporção é de 5 pessoas para cada 280mL de leite.

5   ———- 280ml

54 ———- $$x$$.

$$5x=280\cdot 54\longrightarrow x=\frac{280\cdot 54}{5}= 3024 ml$$.

Dividindo-se este número obtido por 500mL, obtemos o número de caixas necessárias, isto é, $$\frac{3024}{500}=6,048$$.

Como o número de caixas deve ser inteiro e não pode faltar leite, temos de comprar 7 caixas de leite, embora não usaremos boa parte da última caixa. Assim, o volume comprado será de $$7\cdot 500=3500 mL=3,5 L$$.

Resposta: b)

Questão 24

Os lados de uma folha retangular ABCD de papel medem 10 cm e 6 cm, como indica a Figura 1. Essa folha, que é branca de um dos lados e cinza do outro, será dobrada perfeitamente de tal forma que o vértice A irá coincidir com o vértice C, como mostra a Figura 2. A área do trapézio cinza indicado na Figura 2, em cm², é igual a

a) 23.

b) 30.

c) 25.

d) 40.

e) 45.

Solução:

 

 

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