Resolução – UERJ 2016 (1º Exame de Qualificação) – Matemática (continuação)

 

Questão 27

Um índice de inflação de 25% em um determinado período de tempo indica que, em média, os preços aumentaram 25% nesse período. Um trabalhador que antes podia comprar uma quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar agora uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo Y < X. Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra desse trabalhador é de:

a) 20%

b) 30%

c) 50%

d) 80%

Solução:

Use a fórmula de acréscimo – quando um produto aumentar um percentual $$i$$, ele terá um preço multiplicado por $$(1+i)$$.

O trabalhador gastava um total $$S$$ para comprar $$x$$ unidades do produto, a um preço $$p$$. Neste caso, $$x=\frac{S}{p}$$.

Infelizmente, não houve aumento para o trabalhador, então $$S$$ permaneceu constante, mas a inflação aumentou o preço do produto, de modo que agora será $$p\cdot (1+25\%)=1,25\cdot p$$.

A quantidade que ele consegue comprar será $$y=\frac{S}{1,25p}=\frac{1}{1,25}\cdot\frac{S}{p}=\frac{1}{1,25}\cdot x = 0,8x$$.

Deste modo, a quantidade será 80% da original, ou seja, uma redução de 20% no poder de compra. Observe que $$x\cdot 0,8 = x\cdot (1-20\%)$$.

Resposta: a)

 


Questão 28

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Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel: O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y < 60. Os valores respectivos de x e y são:

a) 4 e 12

b) 8 e 24

c) 25 e 12

d) 50 e 24

Solução:

Sempre haverá uma dupla de mesma cor + uma cor solitária. Se for uma vermelha e duas azuis, então há $$C_{9,2}=9!/2!7!=36$$, multiplicado por 7 painéis disponíveis para a cor vermelha, isto é, um total de 252 possibilidades.

No caso em que há duas vermelhas e uma azul, o resultado é idêntico. Deste modo, temos um total de 252 + 252 = 504 possibilidades, isto é, o painel demora 504 segundos para completar todas as possibilidades sem repetir qualquer uma.

Se efetuarmos 504/60, obtemos o tempo em minutos, de 8,4. O total será de 8 minutos e 0,4 de 60 segundos, isto é, $$0,4\cdot 60 = 24$$ segundos.

Resposta: b)


Questão 29

Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a:

A = 3  ;   B = 0  ;   C = 0   ;   D = 7

Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição:

\[A+B+C+D=20\]

O mês de nascimento dessa pessoa é:

a) agosto

b) setembro

c) outubro

d) novembro

Solução:

Façamos por eliminação.

Se fosse Novembro, teríamos $$A+B+1+1=20\longrightarrow A+B=18$$. Como $$A$$ e $$B$$ são números entre 0 e 9, a única opção seria 9+9=18, mas não existe o dia 99 em nenhum mês do nosso calendário gregoriano! Portanto esta alternativa é impossível.

No caso de Outubro, teríamos $$A+B+1+0=20\longrightarrow A+B=19$$. Não conseguimos uma soma de números inteiros que estejam entre 0 e 9, a qual resulte em 19. Portanto esta alternativa não serve.

Se fosse agosto, teríamos $$A+B+0+8=20\longrightarrow A+B=12$$. A opção mais próxima é 29 de agosto, ou seja, 2+9+8 = 19$$. Portanto esta alternativa não serve. Há outras somas (6+6, 8+4,…), mas nenhuma atende ao requisito de representar uma data de nosso calendário.

Resta-nos o mês de setembro. De fato, $$A+B+0+9=20\longrightarrow A+B=11$$. Se escolhermos A=2$$ e $$B=9$$, obtemos o valor 20.

Resposta: b)

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