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Pergunta enviado pelo Flávio, de São Paulo.

(Mackenzie – 2016/inverno) Antônio, José, Pedro, Maria e Renata foram comemorar o aniversário de Antônio em uma churrascaria da cidade. O garçom que os recebeu acomodou-os prontamente em uma mesa redonda para 5 pessoas e assim que todos se sentaram Antônio percebeu que, sem querer, haviam sentado em volta da mesa por ordem de idade, isto é, a partir do segundo mais novo até o mais velho, cada um tinha como vizinho do mesmo lado, o colega imediatamente mais novo. A probabilidade de isso ocorrer se os cinco amigos sentassem aleatoriamente é

Solução:

1) Primeiro, calculamos a quantidade de maneiras em que os amigos podem sentar-se. Este problema é resolvido através do conceito de permutação circular. Os bancos são considerados idênticos, por isso, o que muda a configuração das pessoas sentadas não é o banco, mas quem são seus vizinhos.

Observe o exemplo de três pessoas (claramente distintas, não sendo clones :)).

No exemplo, as duas primeiras figuras possuem a mesma forma de combinar os amigos, pelo fato de que sentar em bancos diferentes não importa. A forma é: 2(à esq. de 1) e 3(à dir. de 1).

Elas mudam de banco, mas o que garante uma configuração da mesa ser diferente de outra não é estar num banco diferente, mas poder mudar os meus vizinhos à direita e à esquerda de mim. Com 3 pessoas, só há duas possibilidades, para cada uma. Exemplo da pessoa 3: 1 (à direita ) e 2(à esquerda), ou 2 (à direita) e 1 (à esquerda).

O total de permutações é $$(n-1)!$$, sendo $$n$$ o número de pessoas sentadas à mesa.

No exercício, há 5 pessoas na mesa. No total, há $$(5-1)!=4!$$ maneiras de se sentarem os amigos à mesa.

 

2) Conforme dito, a troca de bancos não muda, necessariamente, a configuração das pessoas, por isso, se consideramos apenas a configuração de pessoas em ordem crescente~, logo o mais novo terá, à sua direita, o próximo mais novo e terá, à sua esquerda, o mais velho. Como o enunciado nos diz apenas “ordem de idade”, concluímos haver duas opções: a partir da sua direita estão os mais velhos e à esquerda os mais novos, ou o contrário. Portanto há duas opções no total.

\[p=\frac{poss.}{favo.}=\frac{2}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}\]

Resposta: d)

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