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Solução:

Escrevemos

\[(*) ||au+bv||^{2} = \langle (au+bv),(au,bv)\rangle = a^{2}\langle v,v\rangle + 2ab \langle v,u\rangle + b^{2}\langle u,u\rangle\].

Dado que, por hipótese, ||u||=||v||, temos $$\langle u,u\rangle = $$\langle v,v\rangle$$. Desse modo, podemos reescrever a equação $$(*)$$ substituindo um produto interno pelo outro e invertendo a ordem do produto interno entre os dois vetores (propriedade simétrica):

\[\langle (au+bv),(au,bv)\rangle = a^{2}\langle u,u\rangle + 2ab \langle u,v\rangle + b^{2}\langle v,v\rangle (**).\]

Por definição da norma euclidiana, sabemos que $$||av+bu||^{2}=(**)$$, isto é: $$||au+bv||^{2}=||av+bu||^{2}$$. Isso só ocorre se ambas as normas tiverem o mesmo valor real positivo. Logo os comprimentos dos vetores são idênticos.

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Solução:
O vetor u = (x,y,z) deve ser ortogonal aos dois vetores apresentados, isto é:

• $$\langle (x,y,z) ; (2,3,-1)\rangle=0$$, então 2x+3y-z = 0; e
• $$\langle (x,y,z) ; (2,-4,6)\rangle=0$$, então 2x-4y+6z=0.

Somando a primeira equação à segunda multiplicada por (-1), teremos $$2x+3y-z – 2x+4y-6z = 0$$, que resulta em $$7y-7z=0$$, ou $$y=z$$. Retornando à primeira equação, obtemos $$2x+3y-y=0$$, ou, euivalentemente, $$x = -y$$.

Daqui, concluímos que o vetor é $$u=(-y,y,y)$$.

A sua norma euclidiana é $$27 = (3\sqrt{3})^{2}=||u||^{2}=(-y)^{2}+y^{2}+y^{2}= 3y^{2}$$.

Temos a equação $$3y^{2}=27$$, então $$y^{2}=9$$. Há duas possibilidades: $$u=(-3,3,3)$$ ou $$(3,-3,-3)$$.

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A distância entre os pontos A e B é:

Solução:

i. Calculamos o coeficiente angular da reta, usando os pontos de coordenadas conhecidas:

\[m=\frac{4-(-8)}{-6-3}=\frac{12}{-9}=-\frac{4}{3}.\]

ii. Escolhemos o ponto (-6,4) e formamos a equação da reta

\[y-4=\frac{4}{3}(-6 – x).\]

iii. O ponto A tem coordenada $$y=0$$, então $$-4=\frac{4}{3}(-6-x)$$, donde encontramos $$x = -3$$. O ponto B tem coordenada $$x=0$$, donde encontramos $$y=\frac{4}{3}(-6-0)+4$$ e $$y=-4$$.

iv) Finalmente, calculamos a distância entre os pontos A e B, a partir de suas coordenadas:

\[d^{2}_{AB}=(-3-0)^{2}+(0-(-4))^{2}=25.\]

Concluímos, portanto, que $$d_{AB}=5$$.

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Julgue a afirmação: Seja $$𝐴=\left[\begin{array}{ll}1&1/y&\\y&1&\end{array}\right]\quad$$, então $$𝐴^{2}=2𝐴$$.

Solução:

O post Geometria Analítica – Matrizes (exercício 5) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Julgue a afirmação: Se $$𝐴$$ e $$𝐵$$ são matrizes que comutam com a matriz $$M=\left[\begin{array}{ll} 0&-1&\\1&0&\end{array}\right]\quad$$ , então 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.

Solução:

O post Geometria Analítica – Matrizes (exercício 4) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Julgue a afirmação: A única simultaneamente simétrica e anti-simétrica é a matriz nula.

Solução:

O post Geometria Analítica – Matrizes (exercício 3) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Julgue a afirmação: Se $$A$$ e $$B$$ são matrizes $$n\times n$$, então $$(A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}$$.

Solução:

O post Geometria Analítica – Matrizes (exercício 2) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Se $$A$$ é uma matriz $$n\times n$$ e  $$A^{k}=0$$, para $$k$$ ,um inteiro positivo, mostre que

\[(I_{n-A})^{(-1)}=I_{n}+A+A^{2}+…+A^{(k-1)}.\]

Solução:

O post Geometria Analítica – Matrizes (exercício 1) apareceu primeiro em Educacional Plenus.