Vetores – Exercício 1

Encontre um vetor u que seja ortogonal aos vetores (2, 3, −1) e (2, −4, 6) e que tenha ||u|| = 3√3.

Solução:
O vetor u = (x,y,z) deve ser ortogonal aos dois vetores apresentados, isto é:

• $$\langle (x,y,z) ; (2,3,-1)\rangle=0$$, então 2x+3y-z = 0; e
• $$\langle (x,y,z) ; (2,-4,6)\rangle=0$$, então 2x-4y+6z=0.

Somando a primeira equação à segunda multiplicada por (-1), teremos $$2x+3y-z – 2x+4y-6z = 0$$, que resulta em $$7y-7z=0$$, ou $$y=z$$. Retornando à primeira equação, obtemos $$2x+3y-y=0$$, ou, euivalentemente, $$x = -y$$.

Daqui, concluímos que o vetor é $$u=(-y,y,y)$$.

A sua norma euclidiana é $$27 = (3\sqrt{3})^{2}=||u||^{2}=(-y)^{2}+y^{2}+y^{2}= 3y^{2}$$.

Temos a equação $$3y^{2}=27$$, então $$y^{2}=9$$. Há duas possibilidades: $$u=(-3,3,3)$$ ou $$(3,-3,-3)$$.