Sejam u e v dois vetores de comprimentos iguais, mostre que para quaisquer números a e b, os vetores
au + bv e av + bu têm o mesmo comprimento.
Solução:
Escrevemos
\[(*) ||au+bv||^{2} = \langle (au+bv),(au,bv)\rangle = a^{2}\langle v,v\rangle + 2ab \langle v,u\rangle + b^{2}\langle u,u\rangle\].
Dado que, por hipótese, ||u||=||v||, temos $$\langle u,u\rangle = $$\langle v,v\rangle$$. Desse modo, podemos reescrever a equação $$(*)$$ substituindo um produto interno pelo outro e invertendo a ordem do produto interno entre os dois vetores (propriedade simétrica):
\[\langle (au+bv),(au,bv)\rangle = a^{2}\langle u,u\rangle + 2ab \langle u,v\rangle + b^{2}\langle v,v\rangle (**).\]
Por definição da norma euclidiana, sabemos que $$||av+bu||^{2}=(**)$$, isto é: $$||au+bv||^{2}=||av+bu||^{2}$$. Isso só ocorre se ambas as normas tiverem o mesmo valor real positivo. Logo os comprimentos dos vetores são idênticos.
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