Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha

Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é:
a) 4⁴ · 30
b) 4³ · 60
c) 5³ · 60
d) C_7,3·4³
e) C_10,7

Solução:

Em primeiro lugar, pensemos apenas em questões certas e erradas. Temos um conjunto com 7 C (certas) e 3 E (erradas). O total de permutações que podemos obter entre essas letras é $$\frac{10!}{7!3!}=120$$.

As questões erradas podem ocorrer em 4 possibilidades, pois apenas uma das 5 alternativas é correta, logo a forma de errar três questões é $$4\cdot 4\cdot 4 = 4^{3}$$.

Pelo princípio multiplicativo, o total de maneiras de acertar exatamente 7 questões é de $$120\cdot 4^{3} = 30\cdot 4^{4}$$.

Resposta: a)