Demonstração desta propriedade de espaços vetoriais:
\[n\cdot v = \sum^{n}_{1}v.\]
Usamos a Indução Finita para demonstrar esta igualdade e os axiomas das operações com vetores e escalares.
Definimos $$2\cdot v=v+v=\sum^{2}_{1}v$$. Assim, já está provado, pela própria definição da operação, o argumento para $$n=2$$. Além disso, usaremos a notação $$\sum^{n}_{1}v=v+v…+v$$ (n parcelas).
Agora, assumimos a hipótese da indução, $$nv=\sum^{n}_{1}v$$ e provaremos para $$n+1$$. De fato, $$(n+1)v=nv+v$$, das propriedades operacionais dos espaços vetoriais. Assim, é válida a próxima igualdade, por hipótese de indução e também é válido que $$\sum^{n+1}_{1}v=v+\sum^{n}_{1}$$. Logo pode-se escrever
\[(n+1)v=nv+v=(\sum^{n}_{1}v)+v=\sum^{n+1}_{1}v\].
O que demonstra o exercício.
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