Equação do 2º Grau – Exercício 13

A soma e o produto das raízes da equação de segundo grau (4m+3n)x² – 5nx + (m-2) = 0 valem,
respectivamente, 5/8 e 3/32. Então m+n é igual a

a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5

Solução:
Aplicando as fórmulas da Soma e Produto, obtemos as seguintes expressões:

• $$-\frac{-5n}{4m+3n}=\frac{5}{8}$$,
• $$\frac{m-2}{4m+3n} = \frac{3}{32}$$.

A primeira equação fornece $$8n = 4m + 3n$$, então $$m = (5/4)n$$. A segunda equação é $$3(4m+3n)=32(m-2)$$.

Teremos

\[12m + 9n = 32m – 64 \Longrightarrow\]

\[20m – 9n = 64 (*).\]

Substituindo a expressão $$m=(5/4)n$$ em $$(*)$$, obtemos $$20\cdot\frac{5}{4}n – 9n = 64$$, logo teremos $$25n – 9n = 64$$, isto é: $$16n=64$$, então $$n=4$$. Retornando à primeira fórmula obtida, calculamos o valor de $$m$$. De fato, $$m=(5/4)\cdot 4 = 5$$.

Finalmente, $$m+n = 5+4 = 9$$.