Lista de exercícios sobre Volumes em Geometria Espacial: prismas, paralelepípedos, cubos, cones, cilindros, esferas e pirâmides. Questões com resolução e comentários.
Paralelepípedos
• (UNIVESP) Determinado tipo de alimento é vendido em caixas, que possuem a forma de um prisma reto de base retangular e cujas medidas internas estão indicadas na figura. Sabe-se que o alimento ocupa 80% da capacidade total da caixa e que uma pessoa utiliza 70 cm3 dele no preparo de uma torta. Dessa forma, o número máximo de tortas que poderão ser feitas com o conteúdo de uma caixa desse
produto é
(A) 42. | (B) 40. | (C) 38. | (D) 36. | (E) 34.
Gabarito: e)
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• (ENEM) Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm³ cada, que ficarão totalmente submersas. O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de
a) 14. | b) 16. | c)18. | d) 30. | e)34
Gabarito: a)
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• (UNESP) De um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm por 6 √2 cm por 6 √2 cm serão retirados dois cubos, cujos lados medem x cm. Esses cubos têm três arestas contidas em três arestas do paralelepípedo e uma das faces contida em uma mesma face quadrada do paralelepípedo.
Ao adotar o valor máximo para x, o volume do prisma remanescente, após a retirada dos cubos, será igual a:
(A) 36(40-3√2) cm³ | (B) 108(10-√2) cm³ | (C) 30(9-√3) cm³ | (D) 36(10-3√2) cm³ | (E) 30(10-3√2) cm³
Gabarito: a)
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• (IFSP) O aquarismo é uma prática que vem aumentando. O cuidado e tratamento adequados com peixes ornamentais atrai cada vez mais adeptos e traz vários benefícios ao praticante. Uma pessoa comprou seu primeiro aquário com a forma de um prisma retangular e dimensões de acordo com a seguinte figura. Posteriormente, essa mesma pessoa comprou produtos para o tratamento da água e cuidados com os peixes e, ao ler as orientações técnicas de um dos produtos, observou que deveria adicionar 1 gota da substância para cada 4 litros de água. Quantas gotas desse produto devem ser utilizadas em uma única aplicação, considerando que o aquário estará totalmente cheio apenas com água? (1.000 cm³ equivalem a 1 litro)
a) 24 | b) 96 | c) 120 | d) 150
Gabarito: a)
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• (UERJ) Dois cubos cujas arestas medem 2 cm são colados de modo a formar o paralelepípedo ABCDA’B’C’D’. Esse paralelepípedo é seccionado pelos planos ADEF e BCEF, que passam pelos pontos médios F e E das arestas A’B’ e C’D’, respectivamente. A parte desse paralelepípedo compreendida entre esses planos define o sólido ABCDEF, conforme indica a figura a seguir. O volume do sólido ABCDEF, em cm³ , é igual a:
a) 4 | b) 6 | c) 8 | d) 12
Gabarito: c)
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Cilindros e Esferas
• (ENEM) Um povoado com 100 habitantes está passando por uma situação de seca prolongada, e os responsáveis pela administração pública local decidem contratar a construção de um reservatório. Ele deverá ter a forma de um cilindro, cuja base tenha 5m de diâmetro interno, e atender à demanda de água da população por um período de exatamente sete dias consecutivos. No oitavo dia, o reservatório vazio é completamente reabastecido por carros-pipa. Considere que o consumo médio diário por habitante é de 120 litros de água. Use 3 como aproximação para π. Nas condições apresentadas, o reservatório deverá ser construído com uma altura interna mínima, em metro, igual a
a) 1,12 | b) 3,10 | c) 4,35 | d) 4,48 | e) 5,60
Gabarito: d)
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• (EsPCEx) Um cubo com área total de 96 cm² está circunscrito a uma esfera. O volume dessa esfera é igual a: [A] (256/3) π cm³ | [B] 16π cm³ | [C] (64/3)π cm³ | [D] (32/3) π cm³ | [E] (16/3)π cm³
Gabarito: d)
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• (UNICAMP) Um recipiente cilíndrico de altura h tem água em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a seguir.
Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e depois do mergulho da esfera é igual a
a) 2R. | b) R. | c) R/3. | d) 2R/3.
Gabarito: c)
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• (Mackenzie) Em um recipiente cilíndrico de raio 6 cm e altura 9 cm, completamente cheio de água, foi colocada uma esfera metálica. Assim, observou-se que a esfera ficou totalmente submersa na água, transbordando 36 π cm³ de água. Então, o raio da esfera, em cm, mede
a) 2 | b) 3 | c) 4 | d) 5 | e) 6
Gabarito: b)
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• (UNICAMP) No início do expediente do dia 16 de março de 2020, uma farmácia colocou à disposição dos clientes um frasco cilíndrico de 500 ml (500 𝑐𝑚³) de álcool em gel para higienização das mãos. No final do expediente, a coluna de álcool havia baixado 5 cm. Sabendo que a base do cilindro tem diâmetro de 6 cm e admitindo o mesmo consumo de álcool em gel nos dias seguintes, calcula-se que o frasco ficou vazio no dia
a) 17 de março. | b) 18 de março. | c) 19 de março. | d) 20 de março.
Gabarito: c)
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• (ENEM) Muitos restaurantes servem refrigerantes em copos contendo limão e gelo. Suponha um copo de formato cilíndrico, com as seguintes medidas: diâmetro = 6 cm e altura = 15 cm. Nesse copo, há três cubos de gelo, cujas arestas medem 2 cm cada, e duas rodelas cilíndricas de limão, com 4 cm de diâmetro e 0,5 cm de espessura cada. Considere que, ao colocar o refrigerante no copo, os cubos de gelo e os limões ficarão totalmente imersos. (Use 3 como aproximação para π). O volume máximo de refrigerante, em centímetro cúbico, que cabe nesse copo contendo as rodelas de limão e os cubos de gelo com suas dimensões inalteradas, é igual a
a)107. | b)234. | c)369. | d)391. | e) 405.
Gabarito: c)
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Cones
• (ITA) A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 10 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno de um eixo que contém a hipotenusa é 30π cm³. O perímetro desse triângulo é, em cm, igual a
A) 10 + 4√7. | B) 10 + 5√7. | C) 10 + 2√10. | D) 10 + 3√10. | E) 10 + 4√10.
Gabarito: e)
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Pirâmides
• (UERJ) Um recipiente com a forma de uma pirâmide de base quadrada foi completamente preenchido com um líquido. Sua aresta da base mede 4 cm e a altura, 9 cm. Em seguida, todo esse líquido foi transferido para outro recipiente, com a forma de um prisma reto, sendo sua base um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4 cm. Observe as imagens:
Considere que as espessuras dos recipientes são desprezíveis e que as bases estão em planos horizontais, sendo as alturas definidas em relação às bases. A altura h, em centímetros, que o líquido atingirá no segundo recipiente é:
(A) 10 | (B) 8 | (C) 6 | (D) 4
Gabarito: c)
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