Exercícios resolvidos sobre Volumes em Geometria Espacial, incluindo cones, cilindros, esferas e pirâmides. Cada questão vem acompanhada de uma solução completa e comentários explicativos para facilitar o entendimento
Cilindros e Esferas
• (ENEM) Um povoado com 100 habitantes está passando por uma situação de seca prolongada, e os responsáveis pela administração pública local decidem contratar a construção de um reservatório. Ele deverá ter a forma de um cilindro, cuja base tenha 5m de diâmetro interno, e atender à demanda de água da população por um período de exatamente sete dias consecutivos. No oitavo dia, o reservatório vazio é completamente reabastecido por carros-pipa. Considere que o consumo médio diário por habitante é de 120 litros de água. Use 3 como aproximação para π. Nas condições apresentadas, o reservatório deverá ser construído com uma altura interna mínima, em metro, igual a
a) 1,12 | b) 3,10 | c) 4,35 | d) 4,48 | e) 5,60
Gabarito: d)
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• (EsPCEx) Um cubo com área total de 96 cm² está circunscrito a uma esfera. O volume dessa esfera é igual a: [A] (256/3) π cm³ | [B] 16π cm³ | [C] (64/3)π cm³ | [D] (32/3) π cm³ | [E] (16/3)π cm³
Gabarito: d)
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• (UNICAMP) Um recipiente cilíndrico de altura h tem água em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a seguir.
Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e depois do mergulho da esfera é igual a
a) 2R. | b) R. | c) R/3. | d) 2R/3.
Gabarito: c)
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• (Mackenzie) Em um recipiente cilíndrico de raio 6 cm e altura 9 cm, completamente cheio de água, foi colocada uma esfera metálica. Assim, observou-se que a esfera ficou totalmente submersa na água, transbordando 36 π cm³ de água. Então, o raio da esfera, em cm, mede
a) 2 | b) 3 | c) 4 | d) 5 | e) 6
Gabarito: b)
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• (UNICAMP) No início do expediente do dia 16 de março de 2020, uma farmácia colocou à disposição dos clientes um frasco cilíndrico de 500 ml (500 𝑐𝑚³) de álcool em gel para higienização das mãos. No final do expediente, a coluna de álcool havia baixado 5 cm. Sabendo que a base do cilindro tem diâmetro de 6 cm e admitindo o mesmo consumo de álcool em gel nos dias seguintes, calcula-se que o frasco ficou vazio no dia
a) 17 de março. | b) 18 de março. | c) 19 de março. | d) 20 de março.
Gabarito: c)
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• (ENEM) Muitos restaurantes servem refrigerantes em copos contendo limão e gelo. Suponha um copo de formato cilíndrico, com as seguintes medidas: diâmetro = 6 cm e altura = 15 cm. Nesse copo, há três cubos de gelo, cujas arestas medem 2 cm cada, e duas rodelas cilíndricas de limão, com 4 cm de diâmetro e 0,5 cm de espessura cada. Considere que, ao colocar o refrigerante no copo, os cubos de gelo e os limões ficarão totalmente imersos. (Use 3 como aproximação para π). O volume máximo de refrigerante, em centímetro cúbico, que cabe nesse copo contendo as rodelas de limão e os cubos de gelo com suas dimensões inalteradas, é igual a
a)107. | b)234. | c)369. | d)391. | e) 405.
Gabarito: c)
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Cones
• (ITA) A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 10 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno de um eixo que contém a hipotenusa é 30π cm³. O perímetro desse triângulo é, em cm, igual a
A) 10 + 4√7. | B) 10 + 5√7. | C) 10 + 2√10. | D) 10 + 3√10. | E) 10 + 4√10.
Gabarito: e)
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Pirâmides
• (UERJ) Um recipiente com a forma de uma pirâmide de base quadrada foi completamente preenchido com um líquido. Sua aresta da base mede 4 cm e a altura, 9 cm. Em seguida, todo esse líquido foi transferido para outro recipiente, com a forma de um prisma reto, sendo sua base um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4 cm. Observe as imagens:
Considere que as espessuras dos recipientes são desprezíveis e que as bases estão em planos horizontais, sendo as alturas definidas em relação às bases. A altura h, em centímetros, que o líquido atingirá no segundo recipiente é:
(A) 10 | (B) 8 | (C) 6 | (D) 4
Gabarito: c)
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