Progressão aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é igual à diferença entre o sucessor e aquele termo.
Exemplos
- A sequência dos números naturais: 1,2,3,4… Note que 2-1 = 3-2 = 4-3 = 1, e assim por diante.
- A sequência dos números ímpares: 1,3,5,7,…. Observe que 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2, e assim por diante.
Isso significa que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Chamamos esse número de razão da progressão aritmética. Podemos ainda notar que qualquer termo é resultado da soma entre seu antecessor e a razão.
Exemplos
- O segundo quarto da sequência de números pares é o terceiro somado à razão, isto é: $$5+2 = 7$$.
- O terceiro termo da sequência dos naturais é o segundo somado à razão: $$3+1=4$$.
Termo Geral
Cada elemento de uma sequência é denotado por $$a_{n}$$, em que $$n$$ representa o índice daquele termo.
Exemplos
- Na sequência dos números ímpares, $$a_{1}=1, a_{2}=3,a_{3}=5$$,…
- Na sequência dos números pares, $$a_{1}=2, a_{2}=4, a_{3}=6$$,…
Seja $$r$$ a razão de uma progressão aritmética. Sabemos que cada termo é o seu antecessor somado à razão, então podemos observar que
- a2=a1+1r
- a3=a2+r = a1 + 2r
- a4 = a3 + r = a1 + 3r
- an = a1 + (n-1)r
Podemos concluir que qualquer temo de índice $$n$$ depende apenas do primeiro termo ($$a_{1}$$) e da razão ($$r$$), segundo a fórmula $$\mathbf{a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r}$$. Analogamente, podemos relacionar $$a_{n}$$ com outro termo genérico $$a_{m}$$:
\[\mathbf{a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r}.\]
Essa fórmula é chamada de termo geral da progressão aritmética.
Exemplos
- Sendo $$r=4$$ e $$a_{1}=3$$, calcule o vigésimo termo.
$$a_{20}=3+(20-1)\cdot 4 = 79$$
- Se $$r=-1$$ e $$a_{10}=1$$, calcule o décimo quinto termo.
$$a_{15}=a_{10}+(15-10)\cdot(-1) = -4$$.
Soma de uma Progressão Aritmética Finita
A soma dos $$n$$ primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por
\[\mathbf{S_{n}=n\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}}.\]
Exemplos
- Calcule a soma dos 100 primeiros números naturais. Como $$a_{n} = n$$ e $$a_{1}=1$$, teremos $$S_{100}=100\frac{1+100}{2}=5050$$.
- Qual a soma dos 30 primeiros números pares?
Observe que $$a_{1}=2$$ e $$a_{n}=2n$$, então $$S_{30}=30\cdot\frac{2+60}{2}=930$$.
Propriedades da Progressão Aritmética
Uma propriedade útil mostra que qualquer termo é a média aritmética entre seu antecessor e seu sucessor. De fato, sabemos que qualquer elemento da progressão aritmética é resultado de seu antecessor somado à razão: $$a_{n}=a_{n-1}+r$$ e $$a_{n+1}=a_{n}+r$$.
Daqui, obtemos $$a_{n-1}+a_{n+1}=a_{n}-r + a_{n}+r = 2a_{n}$$, logo
\[a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.\]
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