Resolução – UNESP 2016 (2ª Fase) – Q 24 (Matemática)

Questão Está previsto que, a partir de 1o de janeiro de 2017, entrará em vigor um sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão compostas por 4 letras e 3 algarismos. Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas. No novo sistema descrito, calcule o total de placas possíveis com o formato “Letra-Letra-Algarismo-Algarismo–Algarismo-Letra-Letra”, nessa ordem. Em seguida, calcule o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou de fatorial. Solução: Na sequência de (4 Letras, 3 Números), considerando as repetições, teremos um total de \[26\cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 26^{4}\cdot 10^{3}\]. Agora, imagine as permutações possíveis que existem com os algarismos {L,L,L,L,N,N,N}. Este total equivale a $$\frac{7!}{3!4!}$$. Estas permutações não distingue as letras entre si, nem os números entre si. Deste modo, se multiplicarmos este resultado pelo valor calculado com as sequências (4L, 3N), obteremos o total de sequências possíveis. \[\frac{7!}{3!4!}\cdot 26^{4}\cdot 10^{3}\]. O motivo é interessante: no cômputo das possibilidades, quando fazemos $$26^{4}\cdot 10^{3}$$, todas as sequências possíveis ocorrem ali. Por exemplo, as sequências (ABCD123) e (DCBA312). Se multiplicarmos este valor por $$7!$$, sem exclusões, contaremos (ABCD123) e sua permutação (DCBA312), a qual já foi contabilizada no cálculo $$26^{4}\cdot 10^{3}$$. Por isso, excluímos as permutações em que – por exemplo – o a dupla LL é contada duas vezes, uma vez que esta contagem já foi realizada na multiplicação inicial.