Solução:

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Usamos dois fatos acerca dos limites fundamentais trigonométricos: $$lim_{h\to 0}\frac{sen(h)}{h}=0$$ e $$\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)}{h}=1$$.

Lembrando-nos de que $$sen(x+h) = sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x)$$ e aplicamos a fórmula no quociente da definição da derivada:

\[\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}=\frac{sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x)-sen(x)}{h}=\]

\[sen(x)\frac{cos(h)-1}{h}+cos(x)\frac{sen(h)}{h}.\]

Note que os limites das duas frações acima, quando $$h\to 0$$, existem e praticamente coincidem com os limites fundamentais trigonométricos, então $$sen(x)\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)-1}{h}=0$$ e $$cos(x)\lim_{h\to 0}\frac{sen(h)}{h}=cos(x)$$. Podemos, portanto, dizer que existe o limite da definição da derivada, logo

\[sen'(x)=lim_{h\to 0}\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}=\]

\[sen(x)\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)-1}{h}+cos(x)\lim_{h\to 0}\frac{sen(h)}{h}=\]

\[0 + cos(x) = cos(x).\]

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Solução:

Aplicando a Definição de Derivada, precisamos calcular, se existir,

\[lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.\]

Com efeito, podemos escrever o quociente do seguinte modo:

\[\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\frac{x^{3}+2x^{2}h+h^{2}x+x^{2}h+2xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}=\]

\[2x^{2}+hx+x^{2}+2xh+h^{2},\]

Observe que, uma vez que $$h\neq 0$$, pudemos dividir o numerador pelo denominador. Além disso, função de $$h$$ $$\phi(h)=2x^{2}+hx+x^{2}+2xh+h^{2}$$ é uma função contínua, logo $$lim_{h\to 0 }\phi(h)= \phi(0) = 2x^{2}+x^{2}=3x^{2}$$.

Assim, podemos escrever

\[f'(x) = lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\lim_{h\to 0}\phi(h) = \phi(0) = 3x^{2}.\]

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A derivada de uma função num ponto específico corresponde ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico daquela função naquele ponto. Para ilustrar, temos um exemplo com a função $$f(x)=x^{3}+2$$ e a reta tangente à curva no ponto $$(1,f(1))$$.

A definição da Derivada é construída sobre o conceito de limite. Dizemos que a derivada de uma função, $$f:A\subset\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$$, no ponto $$a\in A$$, denotada por $$f'(a)$$, é o limite abaixo, caso exista:

\[f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]

Das propriedades de Função Composta dos limites, podemos reescrever a definição como

\[f'(a)= \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

caso o limite exista.

Equação da Reta Tangente

Em qualquer ponto $$a$$ do domínio da função, podemos definir a equação da Reta Tangente ao gráfico como $$y-f(a)=f'(a)\cdot (x-a).$$

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Solução:

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Calcule $$f'(0)$$, sendo $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}g(x)\cdot sen(\frac{1}{x})&\mbox{se}\quad x\neq 0\\ 0 &\mbox{se}\quad x=0 \end{array}\right.$$ e $$g(0)=g'(0)=0$$.

Solução:

Referência: https://www.ime.usp.br/~lymber/2453/material.html 

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