Definição de Derivada – Exercício 1

Calcule, pela definição, a derivada da função $$f(x)=x^{3}$$, definida nos reais.

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Solução:

Aplicando a Definição de Derivada, precisamos calcular, se existir,

\[lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.\]

Com efeito, podemos escrever o quociente do seguinte modo:

\[\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\frac{x^{3}+2x^{2}h+h^{2}x+x^{2}h+2xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}=\]

\[2x^{2}+hx+x^{2}+2xh+h^{2},\]

Observe que, uma vez que $$h\neq 0$$, pudemos dividir o numerador pelo denominador. Além disso, função de $$h$$ $$\phi(h)=2x^{2}+hx+x^{2}+2xh+h^{2}$$ é uma função contínua, logo $$lim_{h\to 0 }\phi(h)= \phi(0) = 2x^{2}+x^{2}=3x^{2}$$.

Assim, podemos escrever

\[f'(x) = lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\lim_{h\to 0}\phi(h) = \phi(0) = 3x^{2}.\]