Vamos demonstrar que a derivada da função seno é igual à função cosseno.
Solução:
Usamos dois fatos acerca dos limites fundamentais trigonométricos: $$lim_{h\to 0}\frac{sen(h)}{h}=0$$ e $$\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)}{h}=1$$.
Lembrando-nos de que $$sen(x+h) = sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x)$$ e aplicamos a fórmula no quociente da definição da derivada:
\[\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}=\frac{sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x)-sen(x)}{h}=\]
\[sen(x)\frac{cos(h)-1}{h}+cos(x)\frac{sen(h)}{h}.\]
Note que os limites das duas frações acima, quando $$h\to 0$$, existem e praticamente coincidem com os limites fundamentais trigonométricos, então $$sen(x)\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)-1}{h}=0$$ e $$cos(x)\lim_{h\to 0}\frac{sen(h)}{h}=cos(x)$$. Podemos, portanto, dizer que existe o limite da definição da derivada, logo
\[sen'(x)=lim_{h\to 0}\frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}=\]
\[sen(x)\lim_{h\to 0}\frac{cos(h)-1}{h}+cos(x)\lim_{h\to 0}\frac{sen(h)}{h}=\]
\[0 + cos(x) = cos(x).\]
