Definição de Derivada
Índice
I. Calcule as derivadas por meio da definição, caso o limite exista.
$$f(x) = x^{3}$$. (Solução)
$$f(x) = x + \sqrt{x}$$. (Solução)
$$f(x)= sen(x)$$. (Solução)
II. Se f for uma função diferenciável e $$g(x)=xf(x)$$, use a definição de derivada para mostrar que $$g′ (x)=f(x)+xf′(x)$$.(Solução)
Equação da Reta Tangente
1. Determine a equação da reta tangente à curva $$y=x^{2}$$, em (2,f(2)). (Solução)
2. Escreva a reta tangente ao gráfico de $$f(x) = x^{2}e^{x}$$ no ponto $$(1,e)$$. Solução
3. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
a) $$y=\sqrt[4]{x}$$, em (1,1), e
b) $$y = x^{4}-2x^{2}-x$$, em (1,2).
Solução
4. Sabe-se que r é uma reta perpendicular à reta 3x+y=3 e tangente ao gráfico de f(x) = x³. Determine a equação da reta r. Solução.
5. Determine β para que y=βx – 2 seja tangente ao gráfico de f(x) = x³-4x. (Solução)
Regras de Derivação
1. Derive as funções a seguir.
- $$tg(x)$$. (Solução).
- $$\frac{u+1}{Ln(u)}$$. (Solução).
- $$cotg(x)$$. (Solução).
- $$3x^{2}+5cos(x)$$. (Solução)
- $$\frac{x^{3}+1}{sen(x)}$$. (Solução).
- $$\frac{cos(x)}{x^{2}+1}$$. (Solução)
- $$x\cdot sen(x)$$. (Solução)
- $$x^{2}\cdot tg(x)$$. (Solução)
- $$\frac{x+1}{tg(x)}$$. (Solução)
- $$\frac{sec(x)}{3x+2}$$. (Solução)
- $$\sqrt{x}\cdot sec(x)$$. (Solução)
- $$\frac{x}{cossec(x)}$$. (Solução)
- $$\frac{x+sen(x)}{x-cos(x)}$$. (Solução)
Regra da Cadeia
1. Derive as funções abaixo.
- $$y=sen(4x)$$. (Solução)
- $$y=e^{3x}$$. (Solução)
- $$y=\sqrt{3x+1}$$. (Solução)
- $$y=sen(cos(x))$$. (Solução)
- $$y=e^{tg(x)}$$. (Solução)
- $$y= a^{x}$$. (Solução).
- $$y = log_{3}(x)$$. (Solução).
Várias Regras de Derivação
- $$\frac{t\cdot e^{2t}}{Ln(3t+1)}$$. Solução.
Derivada de 2ª Ordem
Calcule as derivadas segundas das seguintes funções:
- $$y=e^{-x}$$ (Solução),
- $$y=e^{-x}-e^{-2x}$$ (Solução),
- $$y=e^{-x^{2}}$$ (Solução),
- $$y=x\cdot e^{-2x}$$ (Solução),
- $$y=\frac{e^{x}}{x+1}$$ (Solução).
Derivação Implícita
1. Derive as funções abaixo.
- $$x^{2}-y^{2}=4$$. (Solução)
- $$x^{2}+4y^{2}=3$$. (Solução)
- $$5y+cos(y)=xy$$. (Solução)
- $$xy^{2}+2y=3$$. (Solução)
- $$2y+sen(y)=x$$. (Solução)
- $$y+ln(x^{2}+y^{2})=4$$. (Solução)
- $$y(x)=arc sen(x)$$. (Solução).
Funções Trigonométricas Inversas
- $$ \frac{dArc\; Sen(x/2)}{dx}$$. Solução.
Aplicações da Derivada
Taxas de Variação
1. Uma partícula desloca-se sobre o eixo $$x$$ com função de posição (espaço) $$x(t)=3+2t-t^{2}$$, com $$t\leq 0$$. a) Qual a velocidade no instante $$t$$? a) Qual a velocidade no instante $$t$$? b) Qual a aceleração no instante $$t$$? b) Qual a aceleração no instante $$t$$? c) Estude a variação do sinal de $$v(t)$$. c) Estude a variação do sinal de $$v(t)$$. (Solução)
2. Um ponto desloca-se sobre a hipérbole $$xy=4$$, de tal modo que a velocidade de $$y$$ é $$y'(t)=\beta$$, com β constante. Mostre que a aceleração da abscissa $$x$$ é $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{\beta^{2}}{8}x^{3}$$. (Solução)
3. A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros) é $$PV=nRT$$ , em que n é o número de mols de gás e $$R=0,0821$$ é a constante do gás. Suponha que, em um certo instante, $$P=8,0$$ atm, e está crescendo a uma taxa de 0,10 atm/min, e $$V=10L$$, e está decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante, se $$n=10$$ mols. (Solução)
4. A medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo está decrescendo a uma taxa de π/36 rad/s. Se o comprimento da hipotenusa for constante igual a 40cm, ache a velocidade com que a área está variando, quando a medida do ângulo agudo for (π/6) rad. (Solução).
Funções Marginais
4. Em uma empresa, o custo, em reais, para produzir $$q$$ unidades de televisores é dado por C(q)=0,02q³-6q²+900q+10000.
a) Obtenha a função Custo Marginal.
b) Obtenha o custo marginal aos níveis $$q=50, q=100$$ e $$q=150$$, explicando seus significados.
c) Calcule o valor real para produzir a 101ª unidade e compare o resultado com o obtido no item anterior. (Solução)
5. O custo de produção de 𝑞 relógios é dado pela equação 𝐂(𝐪)=𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟑𝐪+𝐪². Calcule o custo marginal em q=40. (Solução)
Esboço do Gráfico de uma função
1 .Esboce os gráficos a seguir:
- $$f(x) = x^{3}-3x^{2}+3x$$. Solução.
Máximos e Mínimos
1. Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais:
- $$f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$$. Solução.
- $$f(t)=t\cdot e^{-t}$$. Solução.
- $$f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+2$$. Solução.
2. Ache a menor distância da origem à reta 3x+y=6 e encontre o ponto P, sobre a reta, que esteja mais próximo da origem. Mostre que a origem está na reta perpendicular à reta dada no enunciado. Solução.
3. Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio e, uma semiesfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja 5π. Determine r e h para que o volume seja máximo. Solução.
4. Mostre que o maior retângulo tendo perímetro igual a ρ unidades é um quadrado.
Solução.
5. Qual é o retângulo de área máxima inscrito em uma circunferência de raio R?
Resposta: Um quadrado de lado R√2
Solução no vídeo (clique aqui)
