Definição de Derivada

Definição de Derivada

A derivada de uma função num ponto específico corresponde ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico daquela função naquele ponto. Para ilustrar, temos um exemplo com a função $$f(x)=x^{3}+2$$ e a reta tangente à curva no ponto $$(1,f(1))$$.

A definição da Derivada é construída sobre o conceito de limite. Dizemos que a derivada de uma função, $$f:A\subset\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$$, no ponto $$a\in A$$, denotada por $$f'(a)$$, é o limite abaixo, caso exista:

\[f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]

Das propriedades de Função Composta dos limites, podemos reescrever a definição como

\[f'(a)= \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

caso o limite exista.

Equação da Reta Tangente

Em qualquer ponto $$a$$ do domínio da função, podemos definir a equação da Reta Tangente ao gráfico como $$y-f(a)=f'(a)\cdot (x-a).$$