Arquivos Derivação Implícita - Educacional Plenus

Derivada do Arco seno

Plenus — Sat, 04 Jun 2022 03:02:31 +0000

Seja $$y= arc(sen(x))$$, que é a função que associa, a cada valor de seno, o seu arco correspondente, para $$x\in (-1,1)$$. Suponha $$y$$ derivável. Vamos calcular sua derivada usando a derivação implícita.

Sabemos que $$y(x) = arc(sen(x)) \Longleftrightarrow x = sen (y)$$, com $$y\in (-\pi/2,\pi/2)$$. Derivando os dois lados em $$x$$, obtemos

\[\frac{d}{dx}sen(y) = \frac{d}{dx}x = 1 (*).\]

Pela regra da cadeia, $$\frac{d}{dx}sen(y(x)) = y’cos(y)$$, então, da equação $$(*)$$,

\[\frac{dy}{dx}cos(y) = 1 (**).\]

Note que $$y\in (-\pi/2,\pi/2)$$ e que $$cos^{2}(y) = 1 – sen^{2}(y)$$, então a equação $$(**)$$ transforma-se em

\[y’ = \frac{1}{cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-sen^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.\]

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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Plenus — Wed, 09 Mar 2022 22:42:34 +0000

$$x^{2}-y^{2}=4$$. (Solução)
$$x^{2}+4y^{2}=3$$. (Solução)
$$5y+cos(y)=xy$$. (Solução)
$$xy^{2}+2y=3$$. (Solução)
$$2y+sen(y)=x$$. (Solução)
$$y+ln(x^{2}+y^{2})=4$$. (Solução)

Confira mais exercícios sobre Derivadas aqui!

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Derivação implícita – Exercício 2

Plenus — Tue, 08 Mar 2022 20:40:37 +0000

Expresse $$\frac{dy}{dx}$$ em termos de $$x$$ e $$y$$, em que $$y=f(x)$$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

$$5y+cos(y)=xy$$.

Mais exercícios de derivação implícita aqui!

Solução:

Aplicamos a derivada sobre toda a expressão, de modo que

\[\frac{d}{dx}(5y+cos(y))=\frac{d}{dx}(xy) \Longrightarrow\]

\[(5y)’+(cos(y))’=(xy)’ (*).\]

Sobre a primeira parcela, $$(5y)’ = 5y’$$.

Sobre a segunda parcela temos de aplicar a regra da cadeia, sabendo que $$y$$ é uma função de $$x$$. Desse modo, pondo $$u=cos(y)$$, $$(cos(y))’=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}$$ e $$\frac{du}{dy} = \frac{d(cos(y))}{dy}=-sen(y)$$, o que implica

\[\frac{du}{dx}=-sen(y)\cdot y’.\]

Na última parcela, precisamos calcular a derivada pela regra do produto:

\[(xy)’=x’y+xy’ = y + xy’.\]

Substituindo tudo na expressão $$(*)$$, teremos

\[5y’-sen(y)y’=y+xy’\Longrightarrow\]

\[y'(5-sen(y)-x)=y.\]

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Derivação implícita – Exercício 1

Plenus — Tue, 08 Mar 2022 20:33:00 +0000

Expresse $$\frac{dy}{dx}$$ em termos de $$x$$ e $$y$$, em que $$y=f(x)$$ é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

$$x^{2}-y^{2}=4$$.

Mais exercícios de derivação implícita aqui!

Solução:

Aplicamos a derivada sobre toda a expressão, de modo que

\[\frac{d}{dx}(x^{2}-y^{2})=\frac{d}{dx}4 \Longrightarrow\]

\[(x^{2})’-(y^{2})=0 (*).\]

Sobre a primeira parcela, $$(x^{2})’ = 2x$$.

Sobre a segunda parcela temos de aplicar a regra da cadeia, sabendo que $$y$$ é uma função de $$x$$. Desse modo, pondo $$u=y^{2}$$, $$(y^{2})’=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}$$ e $$\frac{du}{dy} = 2y$$, o que implica $$\frac{du}{dx}=2y\cdot \frac{dy}{dx}$$. Substituindo na expressão $$(*)$$, teremos

\[2x-2yy’=0.\]

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