Seja $$y= arc(sen(x))$$, que é a função que associa, a cada valor de seno, o seu arco correspondente, para $$x\in (-1,1)$$. Suponha $$y$$ derivável. Vamos calcular sua derivada usando a derivação implícita.
Sabemos que $$y(x) = arc(sen(x)) \Longleftrightarrow x = sen (y)$$, com $$y\in (-\pi/2,\pi/2)$$. Derivando os dois lados em $$x$$, obtemos
\[\frac{d}{dx}sen(y) = \frac{d}{dx}x = 1 (*).\]
Pela regra da cadeia, $$\frac{d}{dx}sen(y(x)) = y’cos(y)$$, então, da equação $$(*)$$,
\[\frac{dy}{dx}cos(y) = 1 (**).\]
Note que $$y\in (-\pi/2,\pi/2)$$ e que $$cos^{2}(y) = 1 – sen^{2}(y)$$, então a equação $$(**)$$ transforma-se em
\[y’ = \frac{1}{cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-sen^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.\]
